Question

Помогите пожалуйста sin²x+sin²2x=sin²3x

Answer 1

sin²x+sin²2x=sin²3x
sin²x + sin²2x - sin²3x = 0
(Sin²x - Sin²3x) + Sin²2x = 0
(Sinx - Sin3x) (Sinx + Sin3x)  + Sin²2x = 0
2Sin(-x)Cos2x *2Sin2xCosx  +Sin²2x = 0
-2*2SinxCos2xSin2xCosx + Sin²2x = 0
-Sin2xSin4x +Sin²2x = 0
Sin2x( -Sin4x +Sin2x) = 0
Sin2x = 0    или    -Sin4x +Sin2x = 0
2x = nπ, n∈Z           2Sin(-x)Cos3x = 0
x = nπ/2, n ∈Z            Sinx = 0                  Cos3x = 0
                                    x = πk , k∈Z           3x = π/2 + πm, m ∈Z
                                                                    x = π/6 + πm/3 , m ∈Z         
 

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение sin²x + sin²2x = sin²3x.

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами для преобразования уравнения. Воспользуемся следующими тождествами:

1. sin²θ = (1 - cos2θ) / 2
2. sin(2θ) = 2sinθcosθ

Преобразуем уравнение:

sin²x + sin²2x = sin²3x

Заменим sin²θ на (1 - cos2θ) / 2:

(1 - cos²x) / 2 + (1 - cos²2x) / 2 = (1 - cos²3x) / 2

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

(1 - cos²x + 1 - cos²2x) / 2 = (1 - cos²3x) / 2

Суммируем числители:

(2 - (cos²x + cos²2x)) / 2 = (1 - cos²3x) / 2

Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

2 - (cos²x + cos²2x) = 1 - cos²3x

Теперь объединим cos²x и cos²2x справа:

2 - cos²x - cos²2x = 1 - cos²3x

Переносим все на одну сторону уравнения:

cos²x + cos²2x - cos²3x = 1 - 2

Теперь мы можем использовать известное тригонометрическое тождество для cos(2θ):

cos(2θ) = 2cos²θ - 1

Применим его к уравнению:

cos²x + 2cos²2x - 1 - 1 = 0

cos²x + 2cos²2x - 2 = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной. Давайте обозначим cos(x) как t:

t² + 2cos²2x - 2 = 0

Теперь у нас есть уравнение t² + 2t² - 2 = 0

Суммируем t² и 2t²:

3t² - 2 = 0

Теперь добавим 2 к обеим сторонам уравнения:

3t² = 2

Теперь разделим обе стороны на 3:

t² = 2/3

И, наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

t = ±√(2/3)

Теперь вернемся к исходной переменной:

cos(x) = ±√(2/3)

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. cos(x) = √(2/3)
2. cos(x) = -√(2/3)

Теперь, чтобы найти значения x, возьмем арккосинус от обеих сторон:

1. x = arccos(√(2/3))
2. x = arccos(-√(2/3))

Обратите внимание, что второе уравнение дает тот же результат, что и первое, так как косинус имеет симметричную природу относительно начала координат. Таким образом, два решения уравнения sin²x + sin²2x = sin²3x:

x = arccos(√(2/3))

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы или что-то неясно, пожалуйста, дайте знать.