Question

1. Известно, что sina + cosa = a. Найдите значение выражения sin^6a + cos^6a.

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Преобразуем выражение:

$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =(\sin^2\alpha)^3 +(\cos^2\alpha)^3=$

$=\big(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\big)\big((\sin^2\alpha )^2-\sin^2\alpha \cos^2\alpha +(\cos^2\alpha )^2\big)=$

$=1\cdot\big((\sin^2\alpha )^2 +2\sin^2\alpha \cos^2\alpha+(\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha\big)=$

$=(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha=1^2-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2$

Необходимо найти произведение синуса и косинуса, зная их сумму. Рассмотрим известное соотношение и возведем в квадрат левую и правую его части:

$\sin \alpha + \cos\alpha = a$

$(\sin \alpha + \cos\alpha)^2 = a^2$

$\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2$

$1+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2$

$2\sin\alpha \cos\alpha = a^2-1$

$\sin\alpha \cos\alpha = \dfrac{a^2-1}{2}$

Подставим в ранее полученное соотношение для суммы шестых степеней:

$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3\cdot\left( \dfrac{a^2-1}{2} \right)^2=$

$=1- \dfrac{3(a^4-2a^2+1)}{4} =\dfrac{4-3a^4+6a^2-3}{4} =\boxed{\dfrac{1+6a^2-3a^4}{4}}$

Answer 2

Для нахождения значения выражения sin^6a + cos^6a, мы можем воспользоваться формулой для возведения в шестую степень суммы двух чисел. Эта формула называется "формула для шестой степени суммы":

(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6.

В данном случае a равно sin^2a, а b равно cos^2a. Значит, мы можем переписать формулу для нашего выражения:

(sin^2a + cos^2a)^6 = sin^12a + 6sin^10acos^2a + 15sin^8acos^4a + 20sin^6acos^6a + 15sin^4acos^8a + 6sin^2a*cos^10a + cos^12a.

Теперь мы видим, что первый и последний члены равны 1, потому что sin^2a + cos^2a всегда равно 1 (это идентичность тригонометрии). Таким образом, наше выражение упрощается:

sin^6a + cos^6a = 1 + 6sin^10acos^2a + 15sin^8acos^4a + 20sin^6acos^6a + 15sin^4acos^8a + 6sin^2a*cos^10a + 1.

Теперь мы видим, что второй и предпоследний члены равны между собой, как и третий и пятый члены, и четвертый член равен самому себе. Поэтому мы можем упростить выражение ещё дальше:

sin^6a + cos^6a = 2 + 6sin^10acos^2a + 30sin^8acos^4a + 20sin^6a*cos^6a.

Теперь осталось найти значения sin^2a и cos^2a. Мы знаем, что sin^2a + cos^2a = 1, но также известно, что sin^2a = 1 - cos^2a и cos^2a = 1 - sin^2a. Подставим это в наше выражение:

sin^6a + cos^6a = 2 + 6(1 - cos^2a)cos^2a + 30(1 - cos^2a)^2cos^4a + 20(1 - cos^2a)^3cos^6a.

Теперь выразим cos^2a в терминах sin^2a:

cos^2a = 1 - sin^2a.

И подставим это значение в выражение:

sin^6a + (1 - sin^2a)^6 = 2 + 6(1 - sin^2a)sin^2a + 30(1 - sin^2a)^2sin^4a + 20(1 - sin^2a)^3sin^6a.

Теперь у нас есть выражение только в терминах sin^2a. Мы можем раскрыть скобки и упростить его, чтобы найти окончательное значение.

sin^6a + (1 - sin^2a)^6 = 2 + 6sin^2a - 6sin^4a + 30(1 - 2sin^2a + sin^4a)sin^4a + 20(1 - 3sin^2a + 3sin^4a - sin^6a)sin^6a.

Теперь раскроем скобки и упростим:

2 + 6sin^2a - 6sin^4a + 30sin^4a - 60sin^6a + 20sin^6a - 60sin^8a + 60sin^10a.

Теперь сложим все члены:

2 + 6sin^2a - 6sin^4a + 30sin^4a - 60sin^6a + 20sin^6a - 60sin^8a + 60sin^10a.

Упрощая это выражение, получим:

2 + 6sin^2a - 60sin^8a + 60sin^10a.

Теперь у нас есть окончательное значение выражения sin^6a + cos^6a:

sin^6a + cos^6a = 2 + 6sin^2a - 60sin^8a + 60sin^10a.

Надеюсь, это помогло!