Question

Помогите исследовать функцию y = f(x) методами дифферинциального исчисления и построить график!! y = x⁴/4 - 2 x² Причина: Ваше задание автоматически удалено с Сервиса Школьные Знания.com, потому что оно не получило ответа в течение 4 дней.

Answer 1

D(f)=R
y=0 x=0 или х =+- корень из 8 
х=0 у=0
у<o х принадлежит промежуткам от -корень из 8 до 0 и от 0 до +корень из 8
y>0 x принадлежит от-бесконечности до- корень из 8 и от+корень из8 до + бесконечности
производная =x^3 -4x    равна 0 при х=0 или х=+-2
производная >0  от-2 до 0 и от + 2 до  + бесконечности  функция возрастает
производная <0 от- бесконечности до -2 и от0 до-2 функция убывает
х max=0 y = 0   x min =+-2    y min = -4 

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию y = f(x) = (x^4)/4 - 2x^2 с помощью методов дифференциального исчисления и построим её график.

1. Найдем производные функции:

a. Первая производная: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4} - 2x^2\right)$ $f'(x) = \frac{4x^3}{4} - 2 \cdot 2x$ $f'(x) = x^3 - 4x$

b. Вторая производная: $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(x^3 - 4x\right)$ $f''(x) = 3x^2 - 4$

2. Найдем точки экстремума, а также точки перегиба:

a. Для точек экстремума, решим уравнение f'(x) = 0: $x^3 - 4x = 0$ $x(x^2 - 4) = 0$ $x(x - 2)(x + 2) = 0$

Из этого уравнения следует, что x = 0, x = 2 и x = -2. Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 0: $f(0) = \frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0^2 = 0$

Для x = 2: $f(2) = \frac{2^4}{4} - 2 \cdot 2^2 = 4 - 8 = -4$

Для x = -2: $f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - 2 \cdot (-2)^2 = 4 - 8 = -4$

Итак, у нас есть две точки экстремума: (0, 0), (2, -4), и ( -2, -4).

b. Чтобы найти точки перегиба, решим уравнение f''(x) = 0: $3x^2 - 4 = 0$ $3x^2 = 4$ $x^2 = \frac{4}{3}$ $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 2/√3: $f(2/√3) = \frac{(2/√3)^4}{4} - 2 \cdot (2/√3)^2$

Для x = -2/√3: $f(-2/√3) = \frac{(-2/√3)^4}{4} - 2 \cdot (-2/√3)^2$

3. Построим график функции:

Для визуализации функции y = f(x), можно использовать программы для построения графиков, такие как Python с библиотекой Matplotlib. Вот код для построения графика функции и отмеченных точек экстремума и точек перегиба:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
def f(x):
    return (x**4)/4 - 2*x**2

# Задаем диапазон x
x = np.linspace(-3, 3, 400)
y = f(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y, label='y = (x^4)/4 - 2x^2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()

# Отмечаем точки экстремума и точки перегиба
plt.scatter([0, 2, -2, 2/np.sqrt(3), -2/np.sqrt(3)], [0, -4, -4, f(2/np.sqrt(3)), f(-2/np.sqrt(3))], color='red', label='Точки экстремума и перегиба')
plt.legend()

# Показать график
plt.show()

Этот код построит график функции и отметит точки экстремума и точки перегиба на графике.