Question

Докажите что значение многочлена n^3+3n^2+2n кратно 3 при любом натуральном значении n

Answer 1

$n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)$

n, n+1, n+2 - три последовательные числа, соответсвенно один из них обязан делится на 3, поэтому все выражение кратно 3

Answer 2

Чтобы доказать, что значение многочлена n^3 + 3n^2 + 2n делится на 3 для любого натурального значения n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. База индукции: Для n = 1, мы имеем:

   1^3 + 3 * 1^2 + 2 * 1 = 1 + 3 + 2 = 6.

   6 делится на 3 без остатка, так как 6 = 3 * 2. База индукции выполняется.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального k значение многочлена n^3 + 3n^2 + 2n делится на 3, то есть n^3 + 3n^2 + 2n = 3m, где m - некоторое целое число.

3. Индуктивный переход: Мы должны показать, что если предположение индукции верно для k, то оно верно и для k + 1.

   Для n = k + 1, рассмотрим выражение:

   (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1)

   Раскроем куб и упростим:

   (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + 2k + 2

   Теперь объединим подобные члены:

   k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2

   k^3 + 6k^2 + 11k + 6

   Теперь добавим предположение индукции: k^3 + 3k^2 + 2k = 3m.

   Тогда наше выражение можно переписать как:

   3m + 6k^2 + 11k + 6

   Мы видим, что 3m (по предположению индукции) кратно 3, и все остальные члены также кратны 3, так как 6k^2, 11k и 6 являются кратными 3.

   Таким образом, выражение (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1) также кратно 3.

По принципу математической индукции мы показали, что значение многочлена n^3 + 3n^2 + 2n кратно 3 для любого натурального значения n.