Question

СРОЧНО!!!!!!!!!!!!!! Докажите,что при а≥-1 выполняется неравенство а³+1≥а²+а. ПОЖАЛУЙСТА,ПОМОГИТЕ,ОЧЕНЬ НУЖНО!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Перенесём всё влево:
$a^{3} + 1 - ( a^{2} + a) \geq 0 \\ (a+1)( a^{2} - a + 1) - a(a+1) \geq 0 \\ (a+1)( a^{2} - a + 1 - a) \geq 0 \\ (a+1)( a^{2} - 2a + 1) \geq 0 \\ (a+1) (a-1)^{2} \geq 0$

Второй множитель всегда неотрицателен - это значение квадрата выражения.
Замечаем, что при a >= -1 и первый множитель неотрицателен. Отсюда и следует неотрицательность всего выражения при a > = -1

Answer 2

Давайте докажем это неравенство при условии a ≥ -1.

Исходное неравенство: a³ + 1 ≥ a² + a

Вычитаем a² и a с обеих сторон:

a³ - a² - a + 1 ≥ 0

Теперь давайте попробуем факторизовать левую сторону:

a³ - a² - a + 1 = a²(a - 1) - 1(a - 1) = (a² - 1)(a - 1)

Теперь мы видим, что левая сторона представляет собой произведение двух множителей: (a² - 1) и (a - 1). Давайте продолжим разложение:

(a² - 1) = (a + 1)(a - 1)

Теперь мы видим, что (a² - 1) также можно разложить на (a + 1)(a - 1). Таким образом, мы имеем:

(a + 1)(a - 1)(a - 1)

Теперь мы видим, что левая сторона является произведением трех множителей: (a + 1), (a - 1) и (a - 1). Мы уже знаем, что a ≥ -1, поэтому a - 1 ≥ -2 и a + 1 ≥ 0.

Таким образом, каждый из множителей (a + 1), (a - 1) и (a - 1) является неотрицательным или нулевым. Их произведение также будет неотрицательным или нулевым.

Следовательно, мы имеем:

(a + 1)(a - 1)(a - 1) ≥ 0

Таким образом, неравенство a³ + 1 ≥ a² + a выполняется при a ≥ -1.