Question

В ряду слева направо стоят бочки, в первой тонна воды, а остальные пусты. Робот работает следующим образом: сначала он передвигается слева направо в сторону возрастания номера бочки до первой пустой бочки. Затем он движется налево обратно и переливает из каждой бочки в следующую по номеру (стоящую справа) половину жидкости и идёт к следующей слева, пока не дойдет до первой. После возврата к первой бочке цикл начинается снова. Пример: В первом цикле из состояния (1, 0, 0, . . . ) робот пройдет направо до второй бочки (первой пустой), затем перельет в нее половину предыдущей и вернется назад. Получится набор (0,5, 0,5, 0, 0, . . . ), а робот снова находится в исходном положении перед началом второго цикла. Сколько воды будет в 7 бочке после 8 циклов? Ответ округлить до сотых.

Answer 1

Ну давай выписывать циклы. Только я буду писать обычными дробями.
0: 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0
1: 1/2; 1/2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0
2: 1/4; 2/4; 1/4; 0; 0; 0; 0; 0; 0
3: 1/8; 3/8; 3/8; 1/8; 0; 0; 0; 0; 0
4: 1/16; 4/16; 6/16; 4/16; 1/16; 0; 0; 0; 0
5: 1/32; 5/32; 10/32; 10/32; 5/32; 1/32; 0; 0; 0
6: 1/64; 6/64; 15/64; 20/64; 15/64; 6/64; 1/64; 0; 0
7: 1/128; 7/128; 21/128; 35/128; 35/128; 21/128; 7/128; 1/128; 0
8: 1/256; 8/256; 28/256; 56/256; 70/256; 56/256; 28/256; 8/256; 1/256
Обрати внимание: знаменатели - это 2 в степени шага,
а числители - биномиальные коэффициенты разложения (a + b)^n
В 7 бочке стало 28/256 = 7/64 = 0,109375 ~ 0,11

Answer 2

Давайте рассмотрим, как будет меняться количество воды в седьмой бочке после каждого цикла.

Исходное состояние (все бочки пусты, кроме первой): (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Первый цикл: Робот передвигается направо и переливает половину воды из первой бочки во вторую: (0.5, 0.5, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Второй цикл: Робот возвращается назад и переливает половину воды из второй бочки в первую: (0.25, 0.25, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Третий цикл: Робот передвигается направо и переливает половину воды из первой бочки во вторую: (0.125, 0.375, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Четвертый цикл: Робот возвращается назад и переливает половину воды из второй бочки в первую: (0.0625, 0.3125, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Пятый цикл: Робот передвигается направо и переливает половину воды из первой бочки во вторую: (0.03125, 0.34375, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Шестой цикл: Робот возвращается назад и переливает половину воды из второй бочки в первую: (0.015625, 0.328125, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Седьмой цикл: Робот передвигается направо и переливает половину воды из первой бочки во вторую: (0.0078125, 0.3359375, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

Восьмой цикл: Робот возвращается назад и переливает половину воды из второй бочки в первую: (0.00390625, 0.33203125, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

После восьми циклов вода в седьмой бочке составит 0.33203125 (округлено до сотых).