Question

Как решить данный предел? lim((sqrt(x^2+2x)-sqrt(x^2+x))/sqrtxикс стремится к бесконечности

Answer 1

$> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для решения данного предела, мы можем использовать алгебраические методы и свойства пределов. Предел, который вам дан, можно записать следующим образом:

lim(x -> ∞) [(√(x^2 + 2x) - √(x^2 + x)) / √x]

Для начала, давайте упростим числитель и знаменатель отдельно:

1. В числителе можно использовать разность квадратов, чтобы упростить выражение:

√(x^2 + 2x) - √(x^2 + x) = [(x^2 + 2x) - (x^2 + x)] / (√(x^2 + 2x) + √(x^2 + x))

2. В знаменателе просто оставим √x.

Теперь предел можно записать так:

lim(x -> ∞) [(x + 2x - x - x) / (√(x^2 + 2x) + √(x^2 + x)) / √x]

Упростим числитель и знаменатель:

lim(x -> ∞) [(x) / (√(x^2 + 2x) + √(x^2 + x)) / √x]

Теперь вынесем √x из знаменателя:

lim(x -> ∞) [x / (√x * (√(x^2 + 2x) + √(x^2 + x)))]

Теперь можем упростить выражение, деля числитель и знаменатель на x:

lim(x -> ∞) [1 / (√(1 + 2/x) + √(1 + 1/x))]

Теперь, когда x стремится к бесконечности, выражение 2/x и 1/x стремится к нулю. Поэтому можно просто подставить бесконечность вместо x:

lim(x -> ∞) [1 / (√(1 + 0) + √(1 + 0))]

lim(x -> ∞) [1 / (√1 + √1)]

lim(x -> ∞) [1 / (1 + 1)]

lim(x -> ∞) [1 / 2] = 1/2

Таким образом, предел данной функции при x, стремящемся к бесконечности, равен 1/2.