Question

Найдите определенный интеграл:ⁿ₀∫(x^2+sinx)dx(20б)

Answer 1

$\int\limits^{\pi }_0 (x^2+sinx)\, dx =(\frac{x^3}{3}-cosx)\Big |_0^{\pi } =\frac{\pi ^3}{3}-cos\pi -(0-cos0)=\\\\=\frac{\pi ^3}{3}-(-1)+1 = \frac{\pi ^3}{3} +2$

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла ∫(x^2 + sin(x)) dx от 0 до n, нам нужно сначала найти первообразную этой функции, а затем применить теорему о среднем значении интеграла.

1. Найдем первообразную функции (x^2 + sin(x)) dx:

∫(x^2 + sin(x)) dx = (x^3/3 - cos(x)) + C

2. Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от 0 до n:

∫[0, n] (x^2 + sin(x)) dx = [(n^3/3 - cos(n)) - (0^3/3 - cos(0))]

Теперь вычислим значения:

= (n^3/3 - cos(n)) - (0 - 1) = (n^3/3 - cos(n) + 1)

Итак, определенный интеграл от 0 до n функции (x^2 + sin(x)) dx равен:

(n^3/3 - cos(n) + 1) + C, где C - произвольная константа.