Question

1. Что называется графиком функции? Что представляет собой график линейной функции? Прямой пропорциональности? Обратной пропорциональности? 2. Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке. 3. Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.

Answer 1

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графіком функції {\displaystyle \ f:X\to Y} \ f: X \to Y називається підмножина декартового добутку {\displaystyle \ X} \ X на {\displaystyle \ Y} \ Y ( {\displaystyle G\subset X\times Y} G \subset X \times Y ), що містить всі пари (x, y), для яких f(x)=y.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами x=0 і y=0 називається початком координат.

Answer 2

1. График функции представляет собой графическое представление зависимости между входными и выходными значениями функции. Обычно график функции строится в координатной плоскости, где по горизонтальной оси откладываются входные значения (например, x), а по вертикальной оси - соответствующие выходные значения (например, y).

   • График линейной функции представляет собой прямую линию. Линейная функция имеет вид f(x) = ax + b, где a и b - постоянные коэффициенты. График линейной функции всегда будет прямой линией, и его наклон (угол, под которым она наклонена) определяется коэффициентом a. Если a положительное, то график направлен вверх, если отрицательное - вниз. Прямая пропорциональности - это частный случай линейной функции, где a равно константе, и график проходит через начало координат (b = 0). Обратная пропорциональность - это тоже частный случай линейной функции, но с обратной зависимостью между x и y, где a не равно нулю.

2. Функция называется возрастающей в промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 в этом промежутке, где x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть, значение функции увеличивается при увеличении аргумента.

   Функция называется убывающей в промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 в этом промежутке, где x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2). То есть, значение функции уменьшается при увеличении аргумента.

3. Примеры возрастающей и убывающей линейной функции:

   • Возрастающая линейная функция: f(x) = 2x + 1. В этой функции коэффициент a равен 2, что положительно, и график функции будет стремиться вверх при увеличении x.

   • Убывающая линейная функция: f(x) = -3x + 4. В этой функции коэффициент a равен -3, что отрицательно, и график функции будет стремиться вниз при увеличении x.

Свойство линейной функции: Линейная функция всегда будет либо возрастающей, либо убывающей на всей числовой прямой, и это свойство связано с тем, что коэффициент a в уравнении функции задает ее наклон. Если a положительно, то функция возрастает, а если a отрицательно, то функция убывает. Это свойство можно доказать, рассматривая различные значения x и сравнивая соответствующие значения функции f(x) при разных знаках коэффициента a.