Question

При каких значениях параметра а уравнение x^4+ax^2+a-1=0 имеет только два корня ?

Answer 1

Как обычно для биквадратных уравнений сделаем замену y=x²
y²+ay+(a-1)=0
D=a²-4(a-1)=a²-4a+4=(a-2)²
√D=a-2
y₁=(-a-(a-2))/2=(-a-a+2)/2=(-2a+2)/2=1-a
y₂=(-a+(a-2))/2=(-a+a-2)/2=-1
x=+-√y
y₂<0, поэтому только 2 корня возможны когда y₁>0
1-a>0
1>a
a<1

Answer 2

Уравнение x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 имеет только два корня при определенных значениях параметра a. Давайте рассмотрим эти значения подробнее.

Уравнение x^4 + ax^2 + a - 1 = 0

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной x^2. Параметр a может принимать различные значения, и в зависимости от этих значений, уравнение может иметь разное количество корней.

Условия для двух корней

Уравнение x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 имеет только два корня, когда выполняются определенные условия. Поиск в Интернете не дал точных результатов для этих условий. Однако, мы можем провести анализ уравнения, чтобы определить эти условия.

Анализ уравнения

Для того чтобы уравнение имело только два корня, необходимо, чтобы дискриминант квадратного уравнения относительно x^2 был равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения равен b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае, коэффициенты квадратного уравнения равны a, 0 и a - 1 соответственно. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта и приравняем его к нулю:

(0)^2 - 4(a)(a - 1) = 0

Упростим это уравнение:

-4a^2 + 4a = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

-a^2 + a = 0

Перенесем все члены в одну сторону:

-a^2 + a = 0

-a(a - 1) = 0

Таким образом, уравнение x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 имеет только два корня, когда параметр a удовлетворяет условию a(a - 1) = 0.

Заключение

Уравнение x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 имеет только два корня, когда параметр a удовлетворяет условию a(a - 1) = 0. При других значениях параметра a, уравнение может иметь другое количество корней.