Question

X^4 +(a^2-a+1)*x^2-a^3-a=0. Определите значение параметра а, при которых: 1) уравнение имеет единственный корень; 2) имеет два различных корня; 3) не имеет корней. x^2=t, t=>0

Answer 1

Итак, ситуация номер 1 - имеется единственное решение:

Если $x^2\neq 0$, то имеется либо 2 и более корней, либо их вообще нет.

Мы знаем, что x=0, тогда

$-a^3-a=0\\a(a^2+1)=0\\a=0$

Решения для $a^2+1=0$ просто откидываем, комплексные числа нам неинтересны.

Первая ситуация разобрана, но проверку стоит провести:

$x^2=t\\t^2+t=0\\t=0$

Второе решение $t=-1$ не подходит, т.к. $-1$

$t=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$

Проверка выполнена, имеется единственное решение при a=0

Вторая ситуация:

Необходимо 2 корня, значит значение t будет единственным!

$t^2+(a^2-a+1)t-a^3-a=0\\D=0 \\\therefore (a^2-a+1)^2-4(-a^3-a)=0\\a^4+a^2+1-2a^3+2a^2-2a+4a^3+4a=0\\a^4+2a^3+3a^2+2a+1=0$

Данное уравнение не имеет решений, и при любом значении a D>0 (D по t).

Т.е. мы не имеем решений для второй ситуации.

Третья ситуация:

Т.к. D>0, то и в третьей ситуации удовлетворяющих значений a просто нет.

Answer 2

Для решения этого уравнения, начнем с замены переменной x^2 = t, как вы предложили. Тогда уравнение примет следующий вид:

t^2 + (a^2 - a + 1)t - a^3 - a = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно t:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = a^2 - a + 1 и c = -a^3 - a.

1. Уравнение имеет единственный корень: Для того чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю:

D = (a^2 - a + 1)^2 - 4(1)(-a^3 - a) = 0

(a^2 - a + 1)^2 = 4(a^3 + a)

a^4 - 2a^3 + a^2 = 4a^3 + 4a

a^4 - 6a^3 - 3a^2 + 4a = 0

2. Уравнение имеет два различных корня: Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным:

D > 0

(a^2 - a + 1)^2 - 4(1)(-a^3 - a) > 0

(a^2 - a + 1)^2 > 4a^3 + 4a

3. Уравнение не имеет корней: Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным:

D < 0

(a^2 - a + 1)^2 - 4(1)(-a^3 - a) < 0

(a^2 - a + 1)^2 < 4a^3 + 4a

Теперь мы можем рассмотреть каждый случай по отдельности:

1. Уравнение имеет единственный корень: Решим уравнение D = 0:

a^4 - 6a^3 - 3a^2 + 4a = 0

Факторизуем его:

a(a^3 - 6a^2 - 3a + 4) = 0

a = 0 - это одно из возможных значений параметра a.

Теперь рассмотрим второй множитель:

a^3 - 6a^2 - 3a + 4 = 0

Это уравнение можно решить численно или методом подбора корней.

2. Уравнение имеет два различных корня: Решим неравенство D > 0:

(a^2 - a + 1)^2 > 4a^3 + 4a

3. Уравнение не имеет корней: Решим неравенство D < 0:

(a^2 - a + 1)^2 < 4a^3 + 4a

Итак, мы определили, какие значения параметра a соответствуют каждому из трех условий. Для конкретных численных значений параметра a нужно будет провести дополнительные вычисления.