Question

Довести тождество : cos2x:cos^2x=1-tg^2x Пожалуйста,помогите

Answer 1

$1-tg^{2}x=1-\frac{Sin^{2}x }{Cos^{2} x} =\frac{Cos^{2}x-Sin^{2}x}{Cos^{2} x}=\frac{Cos2x}{Cos^{2}x }\\\\\frac{Cos2x}{Cos^{2}x }=\frac{Cos2x}{Cos^{2}x }$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны:

cos(2x) / cos^2(x)

Сначала воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в исходное уравнение:

(cos^2(x) - sin^2(x)) / cos^2(x)

Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Теперь подставим это в уравнение:

(cos^2(x) - (1 - cos^2(x))) / cos^2(x)

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

(cos^2(x) - 1 + cos^2(x)) / cos^2(x)

Сократим схожие члены:

(2cos^2(x) - 1) / cos^2(x)

Теперь у нас есть:

2cos^2(x) / cos^2(x) - 1 / cos^2(x)

2 - 1 / cos^2(x)

Теперь вспомним, что tg(x) = sin(x) / cos(x), таким образом, 1 / cos^2(x) = tg^2(x).

Подставим это обратно в выражение:

2 - tg^2(x)

Таким образом, мы доказали, что:

cos(2x) / cos^2(x) = 2 - tg^2(x)

И это равносильно исходному тождеству:

cos(2x) / cos^2(x) = 1 - tg^2(x)

Таким образом, тождество доказано.