Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО с тригонометрическими неравенствами!!! (с рисунком если получится) 1) cos(x + π/3) ≤ √3/2 2) √2sin(x - π/4) + 1 > 0 3) ctg(-π/3 - x/2) ≤ √3 4) √3sin2x + cos2x < -√2 5) cos^2 x - sin^2 x < √2/2 6) ctg^2 2x - 3ctg2x + 2 ≥ 0

Answer 1

.первое.....................................

Answer 2

решение задания смотри на фотографии

Answer 3

Давайте рассмотрим каждое из этих тригонометрических неравенств по очереди:

1. cos(x + π/3) ≤ √3/2:

Для начала, перепишем √3/2 в виде cos(π/6):

cos(x + π/3) ≤ cos(π/6)

Теперь, используем свойство косинуса: если cos(A) ≤ cos(B), то A должно быть меньше или равно B, и A и B отличаются на 2πk (где k - целое число). Таким образом:

x + π/3 ≤ π/6 + 2πk

x ≤ -π/6 + 2πk

2. √2sin(x - π/4) + 1 > 0:

Для начала, выразим sin(x - π/4):

sin(x - π/4) = -sin(π/4 - x)

Теперь, у нас есть:

√2(-sin(π/4 - x)) + 1 > 0

-√2sin(π/4 - x) + 1 > 0

Теперь, выразим sin(π/4 - x) в виде sin(x - π/4):

-√2sin(x - π/4) + 1 > 0

Теперь добавим √2sin(x - π/4) к обеим сторонам:

1 > √2sin(x - π/4)

Теперь разделим обе стороны на √2 (помните, что √2 > 0):

1/√2 > sin(x - π/4)

Теперь мы имеем:

sin(x - π/4) < 1/√2

Это неравенство выполняется для всех x, когда 0 < x < π/2, потому что в этом интервале sin(x - π/4) будет меньше 1/√2. И оно также выполняется для всех x, когда -π/2 < x < 0, потому что sin(x - π/4) также будет меньше 1/√2 в этом интервале. Таким образом, диапазон значений x, при которых это неравенство выполняется, будет:

-π/2 < x < π/2

3. ctg(-π/3 - x/2) ≤ √3:

Для начала, перепишем √3 в виде ctg(π/6):

ctg(-π/3 - x/2) ≤ ctg(π/6)

Теперь, используем свойство котангенса: если ctg(A) ≤ ctg(B), то A должно быть меньше или равно B, и A и B отличаются на πk (где k - целое число). Таким образом:

-π/3 - x/2 ≤ π/6 + πk

-π/3 - x/2 ≤ π(1/6 + k)

Теперь решим это неравенство относительно x:

x/2 ≥ -π/3 - π(1/6 + k)

x ≥ -2/3π - 2π(1/6 + k)

x ≥ -2/3π - π(1/3 + 2k)

Таким образом, диапазон значений x, при которых это неравенство выполняется, будет:

x ≥ -2/3π - π(1/3 + 2k)

4. √3sin2x + cos2x < -√2:

Для начала, выразим sin2x и cos2x через sin(x) и cos(x):

sin2x = 2sin(x)cos(x) cos2x = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь, подставим эти выражения в неравенство:

√3(2sin(x)cos(x)) + (cos^2(x) - sin^2(x)) < -√2

Упростим это неравенство:

2√3sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) < -√2

Теперь, воспользуемся формулой для sin(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Изменим n = cos^2(x) - sin^2(x):

n = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1

Теперь мы имеем:

2√3sin(x)cos(x) + n < -√2

2sin(2x) + n < -√2

Теперь подставим n:

2sin(2x) + (2cos^2(x) - 1) < -√2

Упростим это:

2sin(2x) + 2cos^2(x) - 1 < -√2

Теперь, добавим 1 к обеим сторонам:

2sin(2x) + 2cos^2(x) < -√2 + 1

2(sin(2x) + cos^2(x)) < -√2 + 1

Теперь поделим обе стороны на 2:

sin(2x) + cos^2(x) < (-√2 + 1)/2

Таким образом, неравенство выполняется, когда:

sin(2x) + cos^2(x) < (-√2 + 1)/2

5. cos^2 x - sin^2 x < √2/2:

Для начала, используем тригонометрическую идентичность cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x):

cos(2x) < √2/2

Теперь, возьмем арккосинус от обеих сторон:

2x < arccos(√2/2)

Теперь, разделим обе стороны на 2:

x < arccos(√2/2)/2

Теперь, вычислим arccos(√2/2):

arccos(√2/2) = π/4

Теперь:

x < π/4

6. ctg^2(2x) - 3ctg(2x) + 2 ≥ 0:

Давайте рассмотрим это как квадратное уравнение относительно ctg(2x):

(ctg(2x) - 1)(ctg(2x) - 2) ≥ 0

Теперь найдем интервалы, в которых это неравенство выполняется. Решим для каждого множителя:

1. ctg(2x) - 1 ≥ 0:

ctg(2x) ≥ 1

Теперь найдем интервалы, в которых ctg(2x) больше или равен 1. Это происходит, когда 2x находится в интервалах:

x ∈ [π/4 + πk, π/2 + πk], где k - целое число

2. ctg(2x) - 2 ≥ 0:

ctg(2x) ≥ 2

Теперь найдем интервалы, в которых ctg(2x) больше или равен 2. Это происходит, когда 2x находится в интервалах:

x ∈ [π/6 + πk, π/3 + πk], где k - целое число

Теперь объединим интервалы из обоих множителей:

x ∈ [π/4 + πk, π/2 + πk] или x ∈ [π/6 + πk, π/3 + πk]

Это множество значений x, при которых неравенство ctg^2(2x) - 3ctg(2x) + 2 ≥ 0 выполняется.