Question

1)x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1 разложить на множители2)y^3+3y^3-4y-12=0 решите уравнение3) 4y^3-3y^2-4y+3=0 решите уравнение 4) (y+6) ^2-(y+5) (y-5) =79 решите уравнениедокажите что при каждом натуральном n значение выражения: (5n+1) ^2-(2n-1) ^2 кратно 7

Answer 1

1) х2у2-4ху-х2-у2+1=4ху-4ху-2х+2у+1=-2х+2у+1
2)у3+3у3-4у-12=0
3у+9у-4у-12=0
8у-12=0
8у=12
у=1,5
3)4у3-3у2-4у+3=0
12у-6у-4у+3=0
2у+3=0
2у=-3
у=-1,5
А 4 я незнаю, прости

Answer 2

Разложение на множители

1) Для разложения выражения x^2y^2 - 4xy - x^2 - y^2 + 1 на множители, мы можем применить метод группировки. Давайте разложим его по частям:

x^2y^2 - 4xy - x^2 - y^2 + 1 = (x^2y^2 - 4xy) - (x^2 + y^2) + 1

Затем, мы можем провести факторизацию каждой части отдельно:

(x^2y^2 - 4xy) = xy(xy - 4) (x^2 + y^2) = (x + y)(x - y)

Получаем окончательное разложение:

x^2y^2 - 4xy - x^2 - y^2 + 1 = xy(xy - 4) - (x + y)(x - y) + 1

Решение уравнений

2) Чтобы решить уравнение y^3 + 3y^3 - 4y - 12 = 0, мы сначала соберем все члены в одну сторону:

4y^3 - 4y - 12 = 0

Затем мы можем применить метод подстановки и пробовать различные значения y, чтобы найти корни уравнения. В данном случае, можно заметить, что y = 2 является одним из корней уравнения. Используя деление синтетическим методом, мы можем разделить уравнение на (y - 2):

(y - 2)(4y^2 + 8y + 6) = 0

После этого, мы получаем квадратное уравнение 4y^2 + 8y + 6 = 0, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта или метода завершения квадрата. Решив его, мы получим дополнительные корни уравнения.

3) Чтобы решить уравнение 4y^3 - 3y^2 - 4y + 3 = 0, мы также можем применить метод подстановки или попытаться найти рациональные корни с помощью метода Рациональных корней. В данном случае, можно заметить, что y = 1 является одним из корней уравнения. Используя деление синтетическим методом, мы можем разделить уравнение на (y - 1):

(y - 1)(4y^2 + y - 3) = 0

После этого, мы получаем квадратное уравнение 4y^2 + y - 3 = 0, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта или метода завершения квадрата. Решив его, мы получим дополнительные корни уравнения.

Решение уравнения со сложными выражениями

4) Чтобы решить уравнение (y + 6)^2 - (y + 5) + (y - 5) = 79, мы можем начать с раскрытия скобок:

(y + 6)^2 - (y + 5) + (y - 5) = 79 y^2 + 12y + 36 - y - 5 + y - 5 = 79 y^2 + 11y + 21 = 79

Затем мы можем привести уравнение к квадратному виду, перенеся все члены в одну сторону:

y^2 + 11y + 21 - 79 = 0 y^2 + 11y - 58 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или метода завершения квадрата. Решив его, мы найдем значения y, которые удовлетворяют уравнению.

Доказательство кратности выражения

Чтобы доказать, что при каждом натуральном n значение выражения (5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 кратно 7, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг (n = 1): Подставим n = 1 в выражение:

(5(1) + 1)^2 - (2(1) - 1)^2 = (6)^2 - (1)^2 = 36 - 1 = 35

Значение 35 не делится на 7.

Предположение индукции: Предположим, что при некотором натуральном k, выражение (5k + 1)^2 - (2k - 1)^2 кратно 7.

Индукционный шаг (k + 1): Докажем, что при n = k + 1 выражение также будет кратно 7:

(5(k + 1) + 1)^2 - (2(k + 1) - 1)^2 = (5k + 6)^2 - (2k + 1)^2

Раскроем скобки и упростим выражение:

(25k^2 + 60k + 36) - (4k^2 + 4k + 1) = 21k^2 + 56k + 35

Мы можем заметить, что 21k^2 + 56k + 35 является произведением 7 и другого выражения. Так как мы предположили, что выражение (5k + 1)^2 - (2k - 1)^2 кратно 7 для некоторого k, то получаемое выражение также будет кратно 7.

Таким образом, мы доказали, что для каждого натурального n значение выражения (5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 кратно 7.