Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y = sqrt (x + 1), y = sqrt (7-x), y = 0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Найдем области определения функций:

Для $y = \sqrt {x + 1}$

$x+1\geq 0\\x\geq -1$

D(y)={-1 ; +∞}

Для $y = \sqrt{7-x}$

$7-x\geq 0\\x\leq 7$

D(y)={-∞ ; 7}

Найдем точки пересчения функций:

$\sqrt{x+1} =\sqrt{7-x} \\x+1=7-x\\2x=6\\x=3\\y=\sqrt{x+1}=\sqrt{3+1}=2$

Площадь фигуры с учетом области определения функций:

$></p> <p><img src=$

$\frac{2}{3}*4^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}*4^{\frac{3}{2}}=\frac{16}{3} +\frac{16}{3}=10\frac{2}{3}$

$\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = sqrt(x + 1), y = sqrt(7 - x) и y = 0, сначала определим точки их пересечения. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади.

1. Найдем точки пересечения кривых: y = sqrt(x + 1) и y = sqrt(7 - x):

   sqrt(x + 1) = sqrt(7 - x)

   Возводим обе стороны в квадрат:

   x + 1 = 7 - x

   2x = 6

   x = 3

   Теперь мы знаем, что эти две кривые пересекаются при x = 3.

2. Теперь мы должны найти верхнюю и нижнюю границы нашей интеграции. Верхняя граница - это x = 3, а нижняя граница - x = 0, так как y = 0 ограничивает область снизу.

3. Теперь мы можем записать интеграл для вычисления площади фигуры:

   Площадь = ∫[0, 3] (sqrt(x + 1) - sqrt(7 - x)) dx

4. Теперь вычислим этот интеграл:

   Площадь = ∫[0, 3] (sqrt(x + 1) - sqrt(7 - x)) dx

   Подынтегральная функция разности квадратных корней может быть интегрирована следующим образом:

   ∫(sqrt(x + 1) - sqrt(7 - x)) dx = (2/3)(x + 1)^(3/2) + (2/3)(7 - x)^(3/2) + C

   Теперь вычислим значение этой функции на интервале [0, 3]:

   Площадь = [(2/3)(3 + 1)^(3/2) + (2/3)(7 - 3)^(3/2)] - [(2/3)(0 + 1)^(3/2) + (2/3)(7 - 0)^(3/2)]

   Площадь = [(2/3)(4^(3/2) + 4^(3/2))] - [(2/3)(1^(3/2) + 7^(3/2))]

   Площадь = [(2/3)(42 + 42)] - [(2/3)(1 + 343)]

   Площадь = [(8/3)(8)] - [(2/3)(344)]

   Площадь = (64/3) - (688/3)

   Площадь = -624/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = sqrt(x + 1), y = sqrt(7 - x) и y = 0, равна -624/3 квадратных единиц (единицы площади).