Question

Вычислите cos9°+cos18°+cos27°+...+cos162°+cos171°+cos180°​

Answer 1

$\cos 9^\circ+\cos18^\circ+\cos27^\circ+...+\cos 162^\circ+\cos 171^\circ+\cos 180^\circ=\\ \\ =\cos 9^\circ+\cos 18^\circ+\cos 27^\circ+...+\cos (180^\circ-18^\circ)+\cos (180-9^\circ)-1=\\ \\ =\cos 9^\circ+\cos 18^\circ+...-\cos 18^\circ-\cos 9^\circ-1=-1$

Answer 2

Для вычисления значения выражения cos9° + cos18° + cos27° + ... + cos162° + cos171° + cos180°, мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами и сгруппировать синусы и косинусы углов, которые дополняют друг друга до 180°. Так как cos(180° - x) = -cos(x) для любого угла x, мы можем переписать выражение следующим образом:

cos9° + cos18° + cos27° + ... + cos162° + cos171° + cos180° = cos9° + cos18° + cos27° + ... + cos162° + cos171° - cos0°

Теперь мы замечаем, что углы в этом выражении образуют арифметическую прогрессию со следующими членами:

a = 9° d = 9°

Теперь мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

Сумма = (количество членов / 2) * (2 * первый член + (количество членов - 1) * разница между членами)

В данном случае количество членов равно 20 (так как у нас 20 углов), первый член a = 9°, и разница d = 9°. Подставим эти значения в формулу:

Сумма = (20 / 2) * (2 * 9° + (20 - 1) * 9°) Сумма = 10 * (18° + 19 * 9°) Сумма = 10 * (18° + 171°) Сумма = 10 * 189° Сумма = 1890°

Теперь у нас есть сумма косинусов углов. Давайте учтем, что cos(180°) = -1 и преобразуем исходное выражение:

cos9° + cos18° + cos27° + ... + cos162° + cos171° - cos0° = 1890° - 1 = 1889°

Итак, сумма выражения cos9° + cos18° + cos27° + ... + cos162° + cos171° + cos180° равна 1889°.