Question

В треугольнике abc угол C=90°, CosB=3/5; AL — биссектриса. Найти BC/LC

Answer 1

Ответ:4/9

Объяснение:1) обозначим ∠САL=α, тогда ∠А=2α     2) В любом прямоугольном треугольнике SinA =CosB==3/5, т.е. Sin2α=3/5 ⇒Cos2α=4/5  3) Из прямоуг ΔACL имеем:  LC/FC=tgα, из ΔABCимеем: DC/AC=tgA=tg2α    3) Значит LC/DC=(AC·tgα)/(AC·tg2α)=tgα/tg2α          4)Воспользуемся формулой тангенса двойного угла⇒LC/DC=tgα/tg2α = tgα (2tgα/(1-tg²α)=(1-tg²α)/2=(1-Sin²α/Cos²α)/2=(Cos²α-Sin²α)/2Cos²α=Cos2α/2Cos²α= (4/5)/2Cos²α         5)используем формулу  1+Cos 2α= 2 Cos²α, тогда 2Cos²α= 1+(4/5)=9/5   6)LC/DC= (4/5)/2Cos²α    (4/5) /(9/5)=4/9

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся теоремой косинусов и биссектрисой в треугольнике ABC.

У нас есть следующая информация:

• Угол C равен 90 градусов, что означает, что треугольник ABC - прямоугольный треугольник.
• cos(B) = 3/5.

Давайте обозначим длины сторон треугольника следующим образом:

• BC = a (гипотенуза).
• AC = b.
• AB = c.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC:

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

Подставляем известные значения: 3/5 = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

Так как у нас есть прямоугольный треугольник, мы знаем, что a^2 = b^2 + c^2 (теорема Пифагора). Подставляем это в уравнение:

3/5 = (b^2 + c^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

3/5 = (2c^2) / (2ac)

Упрощаем уравнение:

3/5 = c / a

Теперь мы хотим найти отношение BC (a) к LC (AL).

Из определения биссектрисы мы знаем, что биссектриса разделяет угол C на две равные части. Поэтому LC (AL) делит угол C на два равных угла, каждый из которых равен 45 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрический косинус угла 45 градусов (cos(45°) = 1/√2) и отношение сторон в треугольнике BC и AL:

BC / LC = BC / (AL / 2)

Мы знаем, что BC / AL = 3/5 (из теоремы косинусов), поэтому:

BC / LC = (3/5) / (1/2) = (3/5) * 2 = 6/5

Ответ: BC / LC = 6/5.