Question

Помогите пожалуйста взять производную от (cosx)^x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы взять производную от функции $(\cos(x))^x$, мы можем использовать правило производной для функции вида $u(x)^v(x)$, где $u(x)$ и $v(x)$ - функции, зависящие от $x$. Это правило называется правилом степени и цепного правила.

Давайте обозначим:

$u(x) = \cos(x)$ $v(x) = x$

Теперь мы можем применить правило степени и цепного правила:

$(\cos(x))^x = u(x)^{v(x)}$

Производная функции $u(x)^{v(x)}$ по $x$ вычисляется следующим образом:

$$\frac{d}{dx}(u(x)^{v(x)}) = v(x) \cdot u(x)^{v(x)-1} \cdot \frac{du}{dx} + \ln(u(x)) \cdot u(x)^{v(x)} \cdot \frac{dv}{dx}$$

Теперь найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$\frac{du}{dx} = -\sin(x)$ $\frac{dv}{dx} = 1$

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для производной:

$$\frac{d}{dx}((\cos(x))^x) = x \cdot \cos(x)^{x-1} \cdot (-\sin(x)) + \ln(\cos(x)) \cdot \cos(x)^x \cdot 1$$

Сократим умножение на 1:

$$\frac{d}{dx}((\cos(x))^x) = -x \cdot \cos(x)^{x-1} \cdot \sin(x) + \ln(\cos(x)) \cdot \cos(x)^x$$

Это и есть производная от функции $(\cos(x))^x$ по $x$.