Question

Пожалуйста объясните как найти первообразную f(x)=72cos7x*cos11x

Answer 1

F(x)=72cos7x*cos11x=72*1/2*(cos11x-7x)+cos(11x+7x))=
=36cos4x+36cos18x
F(x)=36*sin4x*1/4+36*sin18x*1/18+C=9sin4x+2sin18x+C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 72cos(7x) * cos(11x) мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод подстановки. Давайте рассмотрим оба варианта.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле: ∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это функции, которые мы выбираем, а du и dv - их дифференциалы.

Для нашей функции f(x) = 72cos(7x) * cos(11x), мы можем выбрать: u = cos(7x), du = -7sin(7x) dx, dv = 72cos(11x) dx, v = (1/11)sin(11x).

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫ f(x) dx = ∫ (72cos(7x) * cos(11x)) dx = (1/11)cos(7x)sin(11x) - ∫ (1/11)sin(11x)(-7sin(7x)) dx = (1/11)cos(7x)sin(11x) + (7/11)∫ sin(11x)sin(7x) dx.

Теперь у нас остался интеграл ∫ sin(11x)sin(7x) dx, который можно решить с помощью формулы произведения синусов: sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a-b) - cos(a+b)).

Применяя эту формулу, мы получаем: ∫ sin(11x)sin(7x) dx = (1/2)∫ (cos(11x-7x) - cos(11x+7x)) dx = (1/2)∫ (cos(4x) - cos(18x)) dx = (1/2)(1/4)sin(4x) - (1/2)(1/18)sin(18x) = (1/8)sin(4x) - (1/36)sin(18x).

Теперь мы можем подставить этот результат в нашу первообразную: ∫ f(x) dx = (1/11)cos(7x)sin(11x) + (7/11)((1/8)sin(4x) - (1/36)sin(18x)).

Метод подстановки

Метод подстановки основан на замене переменной, чтобы упростить интеграл. Для нашего интеграла, мы можем воспользоваться следующей подстановкой: u = 7x, du = 7 dx.

Заменяя переменные, наш интеграл принимает вид: ∫ f(x) dx = (1/7)∫ 72cos(u) * cos(11u) du.

Теперь мы имеем интеграл от функции, которая имеет вид f(u) = 72cos(u) * cos(11u). Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям, как мы сделали ранее.

После решения интеграла от f(u), мы можем заменить u обратно на 7x, чтобы получить окончательное решение.

Ответ

Используя метод интегрирования по частям или метод подстановки, мы можем найти первообразную для функции f(x) = 72cos(7x) * cos(11x). Окончательное решение будет зависеть от выбранного метода и может быть записано в следующей форме:

Метод интегрирования по частям: ∫ f(x) dx = (1/11)cos(7x)sin(11x) + (7/11)((1/8)sin(4x) - (1/36)sin(18x)) + C,

где C - произвольная постоянная.

Метод подстановки: ∫ f(x) dx = (1/7)∫ 72cos(u) * cos(11u) du, ∫ f(x) dx = (1/7)((1/11)cos(u)sin(11u) + (7/11)((1/8)sin(4u) - (1/36)sin(18u))) + C, ∫ f(x) dx = (1/77)cos(7x)sin(11x) + (1/8)sin(4x) - (1/36)sin(18x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти первообразную для данной функции. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.