Question

Cos75*sin345=-0.25 помогите доказать тождество

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

Для доказательства тождества `cos(75) * sin(345) = -0.25`, мы можем использовать формулы тригонометрии и связи между тригонометрическими функциями.

Давайте начнем с выражения `cos(75)`. Мы можем использовать формулу для косинуса суммы двух углов, чтобы разложить его на произведение двух тригонометрических функций:

cos(75) = cos(45 + 30)

Мы знаем, что `cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)`. Применяя эту формулу, мы получаем:

cos(75) = cos(45) * cos(30) - sin(45) * sin(30)

Теперь, заменим значения `cos(45)` и `sin(45)`:

cos(75) = (√2/2) * (√3/2) - (√2/2) * (1/2)

cos(75) = (√6 - √2) / 4

Теперь, давайте рассмотрим выражение `sin(345)`. Мы можем использовать формулу для синуса разности двух углов:

sin(345) = sin(360 - 15)

Мы знаем, что `sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)`. Применяя эту формулу, мы получаем:

sin(345) = sin(360) * cos(15) - cos(360) * sin(15)

Так как `sin(360) = 0` и `cos(360) = 1`, мы можем упростить выражение:

sin(345) = 0 * cos(15) - 1 * sin(15)

sin(345) = -sin(15)

Теперь, заменим значение `sin(15)`:

sin(345) = -sin(15) = -1/4

Итак, мы получили значения `cos(75) = (√6 - √2) / 4` и `sin(345) = -1/4`. Подставим эти значения обратно в исходное тождество:

cos(75) * sin(345) = (√6 - √2) / 4 * (-1/4)

Чтобы упростить это выражение, мы можем умножить числители и знаменатели:

cos(75) * sin(345) = - (√6 - √2) / 16

Теперь, давайте упростим правую часть исходного тождества:

-0.25 = -1/4 = -4/16

Мы видим, что правая часть исходного тождества равна `-4/16`. Сравнивая с левой частью, мы замечаем, что они равны:

cos(75) * sin(345) = - (√6 - √2) / 16 = -4/16 = -0.25

Таким образом, мы доказали тождество `cos(75) * sin(345) = -0.25`.