Question

Помогите решить \sqrt{2x+3} = 3-\sqrt{x+5}

Answer 1

$\sqrt{2x+3} = 3 - \sqrt{x+5}\\(\sqrt{2x+3})^2 = (3-\sqrt{x+5})^2\\2x+3 = 9 + x + 5 - 6\sqrt{x+5}\\x - 11 = -6\sqrt{x+5}\\6\sqrt{x+5} = 11-x\\36(x+5) = 121 + x^2 - 22x\\36x + 180 = x^2 - 22x + 121\\x^2 - 58x - 59 = 0\\\frac{D}{4} = 29^2 + 59 = 841 + 59 = 900 = 30^2\\ x = 29\pm30 => x_1 = -1; x_2 = 59$

x = 59 не подходит (выясняется проверкой)

Ответ: x = -1

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть:

√(2x + 3) = 3 - √(x + 5)

Давайте начнем с изолирования одной из корней. Для этого добавим √(x + 5) к обеим сторонам уравнения:

√(2x + 3) + √(x + 5) = 3

Теперь мы избавились от одного из корней. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня:

(√(2x + 3) + √(x + 5))^2 = 3^2

2x + 3 + 2√((2x + 3)(x + 5)) + x + 5 = 9

Теперь у нас есть квадрат суммы под корнем. Давайте продолжим решение, выражая 2√((2x + 3)(x + 5)):

2x + 3 + x + 5 + 2√((2x + 3)(x + 5)) = 9

3x + 8 + 2√((2x + 3)(x + 5)) = 9

Теперь выразим 2√((2x + 3)(x + 5)):

2√((2x + 3)(x + 5)) = 9 - 8

2√((2x + 3)(x + 5)) = 1

Теперь делим обе стороны на 2:

√((2x + 3)(x + 5)) = 1/2

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

((2x + 3)(x + 5)) = (1/2)^2

(2x + 3)(x + 5) = 1/4

Раскроем скобки:

2x^2 + 13x + 15 = 1/4

Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

8x^2 + 52x + 60 = 1

Теперь выразим уравнение в виде квадратного уравнения:

8x^2 + 52x + 60 - 1 = 0

8x^2 + 52x + 59 = 0

Теперь можем решить это квадратное уравнение. Используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 8, b = 52 и c = 59, получим:

x = (-52 ± √(52^2 - 4 * 8 * 59)) / (2 * 8)

x = (-52 ± √(2704 - 1888)) / 16

x = (-52 ± √816) / 16

Теперь выразим корни:

x₁ = (-52 + √816) / 16 x₂ = (-52 - √816) / 16

x₁ ≈ 1.5 x₂ ≈ -4.875

Теперь у нас есть два решения уравнения:

x₁ ≈ 1.5 x₂ ≈ -4.875