Question

Первообразная ∫(2sinx+4x7)dx Выберите один ответ: a. 2cosx+x8/2+C b. -2cosx+4x8+C c. -2cosx+x8/2+C d. 2cosx+28x6+C

Answer 1

Решение:

$\displaystyle \int\limits (2\sin (x) + 4x^7) \, dx = \int\limits 2\sin (x)\, dx + \int \limits 4x^7 \, dx$

Проинтегрируем каждый член отдельно, а затем запишем в общий вид:

$\displaystyle \int\limits 2\sin (x) \, dx = 2\cdot \Big(-\cos (x)\Big)=-2\cos (x) \\ \\ \int\limits 4x^7 \, dx = 4 \cdot (\dfrac{x^{7+1}}{7+1})=4\cdot\dfrac{x^8}{8}=\dfrac{4x^8}{8}=\dfrac{x^8}{2}$

Теперь запишем в общий вид. Это и будет ответом.

$\displaystyle -2\cos (x) +\dfrac{x^8}{2}= -2\cos (x) +\dfrac{x^8}{2}+C$

Использованные формулы:

$\displaystyle \int \limits \sin (x) \, dx = - \cos (x) \, dx \\ \\ \int\limits x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C$

Ответ: $\displaystyle \boxed{-2\cos (x) +\dfrac{x^8}{2}+C}$

Answer 2

Интегрируя данную функцию ∫(2sinx+4x^7)dx, получим:

∫(2sinx+4x^7)dx = 2∫sinx dx + 4∫x^7 dx

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности:

∫sinx dx = -cosx + C1, где C1 - произвольная константа

∫x^7 dx = (1/8)x^8 + C2, где C2 - произвольная константа

Теперь объединим оба интеграла:

2∫sinx dx + 4∫x^7 dx = 2(-cosx + C1) + 4((1/8)x^8 + C2)

= -2cosx + 2C1 + (1/2)x^8 + 4C2

Таким образом, первообразная функции ∫(2sinx+4x^7)dx равна:

-2cosx + (1/2)x^8 + (2C1 + 4C2)

Можем объединить константы 2C1 и 4C2 в одну произвольную константу C:

-2cosx + (1/2)x^8 + C

Итак, правильный ответ на ваш вопрос: c. -2cosx + (1/2)x^8 + C.