Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график у = х^3 + 3х^2 + 3х;

Answer 1

Ответ:

========================================

Объяснение:

Answer 2

Для начала, давайте найдем производную данной функции, чтобы исследовать ее поведение. Функция у(x) дана как y = x^3 + 3x^2 + 3x.

1. Найдем производную функции y(x) по x:

y'(x) = d/dx (x^3 + 3x^2 + 3x)

Используя правила дифференцирования, получаем:

y'(x) = 3x^2 + 6x + 3

Теперь у нас есть производная функции. Теперь давайте исследуем ее на экстремумы и точки перегиба.

2. Найдем точки экстремума, вычислив y''(x):

y''(x) = d/dx (3x^2 + 6x + 3)

y''(x) = 6x + 6

Для поиска экстремумов установим y''(x) = 0:

6x + 6 = 0

6x = -6

x = -1

Теперь, когда у нас есть значение x = -1, найдем соответствующее значение y:

y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) = -1 + 3 - 3 = -1

Итак, у нас есть точка экстремума (-1, -1).

3. Теперь найдем точки перегиба, установив y''(x) = 0:

6x + 6 = 0

6x = -6

x = -1

Итак, у нас снова получается x = -1.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y для точек перегиба, используем исходную функцию:

y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) = -1 + 3 - 3 = -1

Итак, у нас есть точка перегиба (-1, -1).

Теперь мы знаем, что у функции есть точка экстремума и точка перегиба, и оба они находятся в (-1, -1). Давайте построим график функции для лучшего понимания ее поведения.

4. Построим график:

[Вставьте график функции y(x) = x^3 + 3x^2 + 3x, отображая точку экстремума и точку перегиба на графике.]

На графике вы увидите, как функция изменяется в окрестности точек экстремума и перегиба, что поможет вам лучше понять ее поведение.