Question

Решить уравнения: 1) 28x³+3x²+3x+1=02) (x²+4x)(x²+x-6)=(x³-16x)(x²-2x-35)

Answer 1

Ответ:

1-ое уравнение:

$x=-\dfrac{1}{4}$

2-ое уравнение:

$></p> <p><strong>Объяснение:</strong></p> <p><img src=$

Способ 1 (разложение на множители):

Заметим, что данное уравнение хорошо раскладывается на множители:

$28x^3+3x^2+3x+1=28x^3+7x^2-4x^2-x+4x+1=\\=7x^2(4x+1)-x(4x+1)+(4x+1)=(4x+1)(7x^2-x+1)=0$

Второй множитель не имеет корней.

Поэтом ответ $-\dfrac{1}{4}$.

Способ 2:

Поделим исходное уравнение на 28. Получим:

$x^3+\dfrac{3}{28}x^2+\dfrac{3}{28}x+\dfrac{1}{28}=0$, где $a=\dfrac{3}{28},\;b=\dfrac{3}{28},\;c=\dfrac{1}{28}$

Выполним вычисления:

$Q=\dfrac{a^2-3b}{9}=-\dfrac{27}{784}\\R=\dfrac{2a^3-9ab+27c}{54}=\dfrac{351}{21952}\\S=Q^3-R^2\approx-0.0003\\\varphi =\dfrac{1}{3}\times \mathrm{Arsh}\left(\dfrac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)=\dfrac{1}{2}\ln3$

Тогда действительный корень будет равен:

$x=-2\sqrt{\dfrac{27}{784}}\mathrm{sh}\left(\dfrac{1}{2}\ln 3\right)-\dfrac{1}{28}=-\dfrac{1}{4}$

Пришли к тому же ответу.

Уравнение решено!

2)

(x²+4x)(x²+x-6)=(x³-16x)(x²-2x-35)

Раскроем скобки и упростим вырождение:

$x^5-3x^4-56x^3+34x^2+584x=0\\\\x=0\\x^4-3x^3-56x^2+34x+584=0$

Второе уравнение раскладывается на множители:

$(x+4)(x^3-7x^2-28x+146)=0\\\\x=-4\\x^3-7x^2-28x+146=0$

Последнее кубическое уравнение не имеет целых корней.

Поэтому нужно считать так же, как мы делали это при решении 1-ого уравнения 2-ым способом:

$x^3-7x^2-28x+146=0\\\\Q=\dfrac{133}{9}\\R=\dfrac{746}{27}\\S\approx2464>0$

Значит имеем 3 корня:

$\varphi=\dfrac{1}{3}\arccos(\dfrac{R}{\sqrt{Q^3}})=\dfrac{\arccos\left(\dfrac{746\sqrt{133}}{17689}\right)}{3}$

$x_1=-2\sqrt{\dfrac{133}{9}}\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{746\sqrt{133}}{17689}\right)}{3}\right)+\dfrac{7}{3}\\x_2=x=-2\sqrt{\dfrac{133}{9}}\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{746\sqrt{133}}{17689}\right)}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\dfrac{7}{3}\\x_3=x=-2\sqrt{\dfrac{133}{9}}\cos\left(\dfrac{\arccos\left(\dfrac{746\sqrt{133}}{17689}\right)}{3}-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\dfrac{7}{3}$

Итого, уравнение имеет 5 корней:

$></p> <p><strong>Задание выполнено!</strong></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

1. Решение уравнения 28x³ + 3x² + 3x + 1 = 0:

Давайте попробуем разложить данное уравнение на множители. Сначала заметим, что x = -1 - корень данного уравнения, так как при подстановке x = -1 левая часть равняется нулю:

28(-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1 = 0.

Теперь мы можем поделить уравнение на (x + 1), используя синтетическое деление или деление многочленов:

(28x³ + 3x² + 3x + 1) / (x + 1) = 28x² - 25x + 1.

Теперь давайте решим квадратное уравнение:

28x² - 25x + 1 = 0.

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант:

D = (-25)² - 4 * 28 * 1 = 625 - 112 = 513.

Теперь найдем корни уравнения:

x₁ = (-(-25) + √513) / (2 * 28) ≈ 1.73, x₂ = (-(-25) - √513) / (2 * 28) ≈ -0.05.

Таким образом, уравнение 28x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 имеет два действительных корня: x₁ ≈ 1.73 и x₂ ≈ -0.05.

2. Решение уравнения (x² + 4x)(x² + x - 6) = (x³ - 16x)(x² - 2x - 35):

Сначала упростим обе стороны уравнения:

(x² + 4x)(x² + x - 6) = (x³ - 16x)(x² - 2x - 35).

Раскроем скобки:

x⁴ + 5x³ - 24x² - 4x³ - 20x² + 96x = x⁵ - 16x³ - 2x⁴ + 32x² - 35x³ + 560x.

Теперь соберем все члены уравнения на одной стороне и упростим его:

x⁵ - 2x⁴ - 30x³ - 56x² + 464x = 0.

Сначала давайте вынесем x как общий множитель:

x(x⁴ - 2x³ - 30x² - 56x + 464) = 0.

Теперь у нас есть два множителя: x = 0 и уравнение в скобках:

x⁴ - 2x³ - 30x² - 56x + 464 = 0.

Для решения уравнения в скобках можно использовать численные методы или методы аппроксимации, так как оно не имеет очевидных рациональных корней. Увы, мне не удастся предоставить точное аналитическое решение для этого уравнения, но можно попробовать использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти его корни приближенно.