Question

. Найдите множество точек координатной плоскости, которое задано системой неравенств: х2 – у ≤ 3, у-х ≤ -2

Answer 1

Ответ:

$\left\{ \begin{array}{ll}x^2 - y\leq 3\\y - x\leq -2\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}y\geq x^2 -3\\y\leq x-2\end{array}$

Точки плоскости, заданные первым неравенством, лежат выше параболы y = x² - 3, график которой получается смещением графика функции y = x² на 3 единицы вниз (синий график).

Точки плоскости, заданные вторым неравенством, лежат ниже прямой y = x - 2, которую можно построить, сместив прямую у = х на 2 единицы вниз (красный график).

Множество точек координатной плоскости, которое задано системой данных неравенств - это пересечение синей и красной областей.

Answer 2

$\displaystyle\left \{ {{x^2-y\leq3} \atop {y-x\leq-2}} \right. \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left \{ {{y\geq x^2-3} \atop {y\leq x-2}} \right.$

Границей области решений первого неравенства будет парабола:

$y=x^2-3$

Из уравнения функции видно, что вершина параболы имеет координаты  $(0;-3).$ Нули функции  $\pm\sqrt 3$.

Решением неравенства   $y\geq x^2-3$  будет множество точек координатной плоскости, нижняя граница которого - парабола  $y=x^2-3$.  В приложении заштрихована синим цветом.

Границей области решений второго неравенства будет прямая линия:

$y=x-2$

Для построения нужно две точки:

$></p> <p>Решением неравенства   <img src=$  будет множество точек координатной плоскости, верхняя граница которого - прямая линия  $y=x-2$.  В приложении заштрихована зелёным цветом.

Решением системы неравенств будет множество точек координатной плоскости, верхняя граница которого - прямая линия $y=x-2,$ а нижняя граница - парабола $y=x^2-3$. В приложении залита оранжевым цветом.

Answer 3

Для найти множество точек координатной плоскости, которое удовлетворяет системе неравенств, мы можем сначала рассмотреть каждое неравенство по отдельности, а затем найти их пересечение.

1. Начнем с первого неравенства:

   x^2 - y ≤ 3

   Мы можем переписать это неравенство в виде:

   y ≥ x^2 - 3

   Это означает, что множество точек (x, y), удовлетворяющих этому неравенству, находится выше параболы y = x^2 - 3 на координатной плоскости.

2. Теперь рассмотрим второе неравенство:

   y - x ≤ -2

   Это неравенство можно переписать в виде:

   y ≤ x - 2

   Это означает, что множество точек (x, y), удовлетворяющих этому неравенству, находится ниже прямой y = x - 2 на координатной плоскости.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств точек:

Множество точек, удовлетворяющих обоим неравенствам, будет лежать в области, где парабола y = x^2 - 3 находится выше прямой y = x - 2. Давайте найдем точки пересечения этих двух графиков:

x^2 - 3 = x - 2

Приравняем правые части и решим уравнение:

x^2 - x - 1 = 0

Используем квадратное уравнение, чтобы найти корни:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5

x = (-(-1) ± √5) / (2 * 1)

x1 = (1 + √5) / 2 x2 = (1 - √5) / 2

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x1: y1 = (1 + √5) / 2 - 2

Для x2: y2 = (1 - √5) / 2 - 2

Итак, множество точек (x, y), удовлетворяющих системе неравенств x^2 - y ≤ 3 и y - x ≤ -2, включает в себя точки (x1, y1) и (x2, y2):

(x1, y1) = ((1 + √5) / 2, (1 + √5) / 2 - 2) (x2, y2) = ((1 - √5) / 2, (1 - √5) / 2 - 2)

Это множество точек, которое удовлетворяет данным неравенствам на координатной плоскости.