Question

Помогите решить неравенство. √(4−5x)≤8

Answer 1

Ответ:

решение на фото в приложении

Answer 2

Для решения неравенства √(4 - 5x) ≤ 8 сначала перенесем 8 на другую сторону неравенства:

√(4 - 5x) - 8 ≤ 0

Теперь мы хотим избавиться от корня. Возводим обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(√(4 - 5x) - 8)² ≤ 0

Теперь раскроем квадрат на левой стороне:

(4 - 5x - 8√(4 - 5x) + 64) ≤ 0

Теперь преобразуем выражение, чтобы упростить его. Сначала выразим √(4 - 5x) как u:

u = √(4 - 5x)

Тогда уравнение становится:

(4 - 5x - 8u + 64) ≤ 0

Подставляем u:

(4 - 5x - 8√(4 - 5x) + 64) ≤ 0

Теперь выразим 8√(4 - 5x):

8√(4 - 5x) = 8u

Теперь наше неравенство выглядит следующим образом:

(4 - 5x - 8u + 64) ≤ 0

(4 - 5x - 8u + 64) ≤ 0

Теперь объединим похожие члены:

(68 - 5x - 8u) ≤ 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором есть только одна переменная u:

68 - 5x - 8u ≤ 0

Чтобы решить это уравнение относительно u, выразим u:

8u ≤ 68 - 5x

u ≤ (68 - 5x)/8

Теперь мы можем вернуться к u = √(4 - 5x):

√(4 - 5x) ≤ (68 - 5x)/8

Чтобы избавиться от корня, возводим обе стороны в квадрат:

4 - 5x ≤ ((68 - 5x)/8)²

Теперь решим это уравнение:

4 - 5x ≤ ((68 - 5x)/8)²

Сначала вычислим ((68 - 5x)/8)²:

((68 - 5x)/8)² = (68 - 5x)² / 64

Теперь у нас есть:

4 - 5x ≤ (68 - 5x)² / 64

Умножим обе стороны на 64, чтобы избавиться от дроби:

64(4 - 5x) ≤ (68 - 5x)²

Раскроем квадрат на правой стороне:

256 - 320x + 100x² ≤ (68 - 5x)²

Теперь приведем это уравнение к квадратичному виду:

100x² - 320x + 256 ≤ (68 - 5x)²

Раскроем квадрат на правой стороне:

100x² - 320x + 256 ≤ 4624 - 680x + 25x²

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

100x² - 320x + 256 - 4624 + 680x - 25x² ≤ 0

Упростим:

75x² + 360x - 4368 ≤ 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Давайте решим его сначала найдя корни уравнения:

75x² + 360x - 4368 = 0

Решим это квадратное уравнение:

Используем дискриминант: D = b² - 4ac

D = (360)² - 4(75)(-4368) = 129600 - (-1305600) = 1435200

Так как D > 0, у нас есть два корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b - √D) / (2a)

x₁ = (-360 + √1435200) / (2 * 75) ≈ 10.81 x₂ = (-360 - √1435200) / (2 * 75) ≈ -8.81

Теперь у нас есть два корня, и нам нужно найти интервалы, в которых уравнение 75x² + 360x - 4368 ≤ 0 выполняется.

Сначала посмотрим, как меняется знак внутри интервалов между корнями и за пределами корней:

1. Если x < -8.81, то (75x² + 360x - 4368) > 0, так как оба корня находятся слева от x.
2. Если -8.81 < x < 10.81, то (75x² + 360x - 4368) < 0, так как оба корня находятся между x₁ и x₂.
3. Если x > 10.81, то (75x² + 360x - 4368) > 0, так как оба корня находятся справа от x.

Таким образом, неравенство 75x² + 360x - 4368 ≤ 0 выполняется на интервале -8.81 < x < 10.81.

Теперь давайте вернемся к исходному неравенству:

√(4 - 5x) ≤ (68 - 5x)/8

Мы знаем, что корень извлекается из неотрицательных чисел, поэтому выражение слева всегда неотрицательное. Нам нужно, чтобы правая сторона была неотрицательной:

(68 - 5x)/8 ≥ 0

Таким образом, 68 - 5x ≥ 0, что можно переписать как -5x ≥ -68. Делим обе стороны на -5 и меняем направление неравенства:

x ≤ 68/5

x ≤ 13.6

Таким образом, итоговое решение неравенства √(4 - 5x) ≤ 8 это:

-8.81 < x ≤ 13.6