Question

Для заданої функції f знайти первісну F, що задовольняє даній умові: 1) f(x)=(x-3)7; F(3)=2; 2)f(x)=ex-5; F(0)=4.

Answer 1

1)F(x)=1/8*(x-3)^8+C
1/8*(3-3)^8+C=2
C=2
F(x)=1/8*(x-3)^8+2
2)F(x)=e^x-5x+C
e^0-5*0+C=4
1+C=4
C=3
F(x)=e^x-5x+3

Answer 2

Знайти первісну функцію для заданих функцій f

Для знаходження первісних функцій F для заданих функцій f, використаємо правило знаходження первісної функції:

1) f(x) = (x-3)^7; F(3) = 2:

По-перше, знайдемо первісну функцію для f(x):

\[ F(x) = \int f(x) \, dx \]

\[ F(x) = \int (x-3)^7 \, dx \]

\[ F(x) = \frac{(x-3)^8}{8} + C \]

Тепер, використовуючи умову F(3) = 2, можемо знайти значення константи C:

\[ F(3) = \frac{(3-3)^8}{8} + C = 2 \]

\[ C = 2 \]

Отже, первісна функція для f(x) = (x-3)^7 з умовою F(3) = 2 є:

\[ F(x) = \frac{(x-3)^8}{8} + 2 \]

2) f(x) = e^x-5; F(0) = 4:

Аналогічно, знайдемо первісну функцію для f(x):

\[ F(x) = \int f(x) \, dx \]

\[ F(x) = \int (e^x-5) \, dx \]

\[ F(x) = e^x - 5x + C \]

Використовуючи умову F(0) = 4, знайдемо значення константи C:

\[ F(0) = e^0 - 5*0 + C = 4 \]

\[ C = 4 \]

Отже, первісна функція для f(x) = e^x-5 з умовою F(0) = 4 є:

\[ F(x) = e^x - 5x + 4 \]

Таким чином, ми знайшли первісні функції F для заданих функцій f з вказаними умовами.