Question

Y=(x^2-4)/x^3 исследовать

Answer 1

Пусть y=0

0 = x^2-4 / x^3

x^2-4 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Ответ: x1=2, x2=-2

Answer 2

Чтобы исследовать функцию Y=(x^2-4)/x^3, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производные функции.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Определить интервалы возрастания и убывания функции.
5. Найти экстремумы (если они есть).
6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости функции.
7. Найти точки перегиба (если они есть).
8. Найти пределы функции при стремлении x к бесконечности.

Давайте начнем с выполнения этих шагов:

1. Область определения функции: Функция определена для всех значений x, кроме x=0 (поскольку в знаменателе у нас есть x^3, и деление на ноль недопустимо). Таким образом, область определения функции - все значения x, кроме x=0.

2. Производные функции: Найдем производные функции Y'(x): Y'(x) = [(2x * x^3 - (x^2 - 4) * 3x^2)] / x^6 = (2x^4 - 3x^4 + 12x^2) / x^6 = (-x^4 + 12x^2) / x^6

3. Точки пересечения с осями координат: Для найти точки пересечения с осями координат, решим уравнение Y(x) = 0: (x^2 - 4) / x^3 = 0

   Это уравнение имеет два корня: x=2 и x=-2.

   Теперь мы знаем, что у функции есть две точки пересечения с осью X: (2, 0) и (-2, 0).

4. Интервалы возрастания и убывания функции: Для определения интервалов возрастания и убывания, нужно проанализировать знак производной Y'(x). Рассмотрим интервалы между точками пересечения и за пределами:

   • Интервал (-∞, -2): В этом интервале Y'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

   • Интервал (-2, 0): В этом интервале Y'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

   • Интервал (0, 2): В этом интервале Y'(x) > 0, следовательно, функция также возрастает.

   • Интервал (2, +∞): В этом интервале Y'(x) < 0, функция убывает.

5. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы, мы должны рассмотреть значения производной Y'(x) на интервалах. Функция не имеет экстремумов, так как производная меняет знак без пересечения оси X.

6. Интервалы выпуклости и вогнутости: Для анализа интервалов выпуклости и вогнутости нужно рассмотреть вторую производную Y''(x). Рассмотрим интервалы:

   • Интервал (-∞, -2): Y''(x) = (d/dx)((-x^4 + 12x^2) / x^6) = (-6x^2 + 24) / x^7 Y''(x) < 0, функция выпукла вниз на этом интервале.

   • Интервал (-2, 0): Y''(x) > 0, функция выпукла вверх на этом интервале.

   • Интервал (0, 2): Y''(x) > 0, функция также выпукла вверх.

   • Интервал (2, +∞): Y''(x) < 0, функция снова выпукла вниз.

7. Точки перегиба: Точки перегиба - это точки, где вторая производная Y''(x) равна нулю или не существует. В данной функции точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная никогда не равна нулю.

8. Пределы функции: Найдем пределы функции при x стремящемся к бесконечности: lim(x->+∞) [(x^2 - 4) / x^3] = lim(x->+∞) (x^2/x^3 - 4/x^3) = lim(x->+∞) (1/x - 0) = 0

   Предел функции равен 0 при x стремящемся к бесконечности.

Итак, мы провели исследование функции Y=(x^2-4)/x^3 и определили её характеристики, область определения, точки пересечения с осями координат, интервалы возрастания и убывания, отсутствие экстремумов, интервалы выпуклости и вогнутости, отсутствие точек перегиба, и предел функции при x стремящемся к бесконечности.