Question

Помогите с 3 заданиями. Даю Cамое большое кол-во баллов. Срочо. Плиз 1. Найти область определения функции а) Y =√(2x - 5) б) Y = 6/(x - 1) в) y = √( (x - 5) / (2x + 3) ) г) Y = 2x / (х^2 - 5x + 6) 2. Исследовать функции на четность, нечетность а) Y = x^3 / (х^2+ 1) б) Y = x^4 – 2x^2 + 3 в) Y = x^3 - 5x + 1 3. исследовать функцию на возрастание и убывание а) Y = 2x б) Y = -3x + 2 в) Y = 2x^2 + 5

Answer 1

1. а) Выражение под корнем всегда неотрицательно. Тогда D(y): $2x-5 \geq 0 \rightarrow 2x \geq 5\rightarrow x \geq 2.5$
б) Выражение в знаменателе не равно нулю. Тогда D(y): $x-1 \neq 0\rightarrow x \neq 1$
в) Выражение под корнем всегда неотрицательно. Тогда D(y): $\frac{x-5}{2x+3} \geq 0 \\ x\in (-\infty; -1.5)\cup [5; +\infty)$
г) Выражение в знаменателе не равно нулю. Тогда D(y): (решение квадратного уравнение расписывать не буду, это алгоритм) $x^2 - 5x + 6 \neq 0 \\ x \neq 2, x \neq 3$

2. а) D(y) = $(-\infty; +\infty)$ (знаменатель в ноль не обращается) - симметричное множество.
$f(-x)= \frac{(-x)^3}{(-x)^2+1} = \frac{-x^3}{x^2+1} = - \frac{x^3}{x^2+1} \\ -f(x)= - \frac{x^3}{x^2+1} \\ f(-x)=-f(x)$
Функция нечётная
б) D(y) = $(-\infty; +\infty)$ (ограничений нет) - симметричное множество.
$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+3 = x^4-2x^2+3 \\ f(-x)=f(x)$
Функция чётная
в) D(y) = $(-\infty; +\infty)$ (ограничений нет) - симметричное множество.
$f(-x)=(-x)^3-5*(-x)+1=-x^3+5x+1 \\ -f(x)= -(x^3 - 5x + 1) = -x^3 + 5x - 1$
Функция общего вида

3. а) Это прямая, k > 0, значит, функция всегда возрастает
б) Это прямая, k < 0, значит, функция всегда убывает
в) Это парабола, a > 0 (ветви направлены вверх), вершина имеет координату 0 по x (-b/2a = -0/4 = 0), значит, на (-∞; 0] убывает, на [0; +∞) возрастает

Answer 2

Задание 1: Найти область определения функции

a) Функция: Y = √(2x - 5)

Чтобы найти область определения функции, нужно определить значения x, при которых функция определена. В данном случае, функция будет определена только если выражение под корнем неотрицательное:

2x - 5 >= 0

Решим это неравенство:

2x >= 5

x >= 5/2

Таким образом, область определения функции a) Y = √(2x - 5) будет x >= 5/2.

b) Функция: Y = 6/(x - 1)

В данном случае, функция будет определена только если знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль не определено:

x - 1 != 0

x != 1

Таким образом, область определения функции b) Y = 6/(x - 1) будет x != 1.

в) Функция: Y = √((x - 5)/(2x + 3))

Для определения области определения функции, нужно учесть два условия: 1. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не должен равняться нулю:

2x + 3 != 0

2x != -3

x != -3/2

2. Выражение под корнем неотрицательное:

(x - 5)/(2x + 3) >= 0

Решим это неравенство. Для этого найдем значения x, при которых числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, а затем проверим значения между этими точками:

a) x - 5 > 0 и 2x + 3 > 0 x > 5/1 и x > -3/2 x > 5/1 b) x - 5 < 0 и 2x + 3 < 0 x < 5/1 и x < -3/2 x < -3/2 Таким образом, область определения функции в) Y = √((x - 5)/(2x + 3)) будет x < -3/2 или x > 5/1 (x принадлежит интервалу (-∞, -3/2) U (5/1, +∞)).

г) Функция: Y = 2x/(x^2 - 5x + 6)

Чтобы найти область определения функции, нужно определить значения x, при которых функция определена. В данном случае, функция будет определена только если знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль не определено:

x^2 - 5x + 6 != 0

Решим это квадратное уравнение:

(x - 2)(x - 3) != 0

x != 2 и x != 3

Таким образом, область определения функции г) Y = 2x/(x^2 - 5x + 6) будет x != 2 и x != 3 (x принадлежит интервалу (-∞, 2) U (2, 3) U (3, +∞)).

Задание 2: Исследовать функции на четность и нечетность

a) Функция: Y = x^3/(x^2 + 1)

Для определения четности и нечетности функции, необходимо проверить, выполняется