Question

Обчислити 1.)sin75 2.)cos105°​

Answer 1

1)

$\sin(75^\circ) = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos(15^\circ)$

используем формулу косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$

$\cos^2(\alpha) = \frac{\cos(2\alpha) + 1}{2}$

$\cos^2(15^\circ) = \frac{\cos(30^\circ) + 1}{2} =$

$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4}$

$\cos(15^\circ) > 0$

$\cos(15^\circ) = \sqrt{\frac{\sqrt{3}+2}{4}} = \frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$

2)

$\cos(105^\circ) = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)$

по формуле косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

$\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin^2(15^\circ) = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{2} =$

$= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin(15^\circ) > 0$

$\sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos(105^\circ) = -\sin(15^\circ) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Answer 2

Для обчислення значень синуса і косинуса цих кутів, ми можемо скористатися тригонометричними ідентичностями і знаходити їх на основі відомих значень синуса і косинуса для кутів 30°, 45° і 60°.

1.) sin(75°) = sin(30° + 45°)

За допомогою тригонометричної ідентичності sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B):

sin(75°) = sin(30°)cos(45°) + cos(30°)sin(45°)

За відомими значеннями синуса і косинуса для кутів 30° і 45°:

sin(30°) = 0.5 cos(30°) = √3/2 sin(45°) = √2/2 cos(45°) = √2/2

Підставимо ці значення:

sin(75°) = (0.5)(√2/2) + (√3/2)(√2/2)

sin(75°) = (√2/4) + (√6/4)

sin(75°) = (√2 + √6) / 4

2.) cos(105°) = cos(60° + 45°)

За допомогою тригонометричної ідентичності cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B):

cos(105°) = cos(60°)cos(45°) - sin(60°)sin(45°)

За відомими значеннями синуса і косинуса для кутів 60° і 45°:

cos(60°) = 0.5 sin(60°) = √3/2 cos(45°) = √2/2 sin(45°) = √2/2

Підставимо ці значення:

cos(105°) = (0.5)(√2/2) - (√3/2)(√2/2)

cos(105°) = (√2/4) - (√6/4)

cos(105°) = (√2 - √6) / 4

Отже,

1.) sin(75°) = (√2 + √6) / 4 2.) cos(105°) = (√2 - √6) / 4