Question

Нужно решить пример за ф.Муавра. Вот сам пример: (1-i)^13

Answer 1

$\displaystyle z^{13}=(1-i)^{13}$

Запишем число z=1-i в показательной форме:

$\displaystyle |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Поскольку число z находится в IV четверти, то

$\displaystyle tg(g)=\frac{b}{a}=\frac{-1}{1}=-1\\\\ g=\frac{7\pi}{4}$

Таким образом, мы можем записать число z=1-i в показательной форме

$\displaystyle z=\sqrt{2}e^{i*\frac{7\pi }{4}}$

Теперь, используя формулу Муавра можно найти z¹³

$\displaystyle z^{13}=(\sqrt{2}*e^{i\frac{7\pi }{4}})^{13}=(\sqrt{2})^{13}*e^{i*\frac{91\pi }{4}}=64\sqrt{2}*e^{i*\frac{3\pi }{4}}=\\\\=64\sqrt{2}(cos\frac{3\pi }{4}+i*sin\frac{3\pi}{4})=64\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i*\frac{\sqrt{2}}{2})=-64+64i=64(-1+i)$

Answer 2

Для решения этого примера с использованием формулы Муавра, нам сначала нужно представить число $1 - i$ в тригонометрической форме (полярной форме). Затем мы возводим это число в степень 13, используя формулу Муавра, чтобы найти его значение.

1. Представим число $1 - i$ в тригонометрической форме. Для этого сначала найдем его модуль и аргумент:

   Модуль ($|1 - i|$) можно найти как: $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$

   Аргумент ($θ$) можно найти как: $\tan(θ) = \frac{Im(1 - i)}{Re(1 - i)} = \frac{-1}{1} = -1.$ Значит, $θ = -π/4$.

2. Теперь мы имеем $1 - i$ в тригонометрической форме: $1 - i = \sqrt{2} \cdot (\cos(-π/4) + i \sin(-π/4)).$

3. Используем формулу Муавра для возведения в степень 13: $(1 - i)^{13} = \sqrt{2}^{13} \cdot (\cos(-13π/4) + i \sin(-13π/4)).$

4. Упростим выражение: $\sqrt{2}^{13} \cdot (\cos(-13π/4) + i \sin(-13π/4)) = 8192 \cdot (\cos(-π/4) + i \sin(-π/4)).$

5. Теперь у нас есть ответ: $8192 \cdot (\cos(-π/4) + i \sin(-π/4)) = 8192 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}\right).$

Таким образом, значение $(1 - i)^{13}$ в тригонометрической форме равно $8192 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}\right)$.