Question

Відомо ,що x+y=a²/4 ; y+z=-a ; x+z=1 .Доведіть, що вираз x+y+z набуває тільки невід'ємних значень

Answer 1

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{ccc}x+y=\frac{a^2}{4} \\y+z=-a\\x+z=1\end{array}\right..$

Суммируем эти уравнения:

$x+y+y+z+x+z=\frac{a^2}{4} -a+1\\2x+2y+2z=\frac{a^2-4a+4}{4} \\2*(x+y+z)=\frac{(a-2)^2}{4}\ |:2\\x+y+z=\frac{(a-2)^2}{8}.$

Answer 2

Для доведення того, що вираз x + y + z набуває тільки невід'ємних значень, давайте використаємо задані рівняння:

1. x + y = a²/4
2. y + z = -a
3. x + z = 1

Додамо всі ці рівняння разом:

(x + y) + (y + z) + (x + z) = (a²/4) - a + 1

Тепер об'єднаймо подібні доданки:

2x + 2y + 2z = (a²/4) - a + 1

Поділімо обидві сторони на 2:

x + y + z = (a²/8) - (a/2) + 1/2

Для доведення, що x + y + z набуває тільки невід'ємних значень, нам потрібно показати, що вираз (a²/8) - (a/2) + 1/2 завжди більше або рівний нулю.

Для цього розглянемо функцію:

f(a) = (a²/8) - (a/2) + 1/2

Для визначення, де ця функція набуває значень більше або рівних нулю, можна знайти її мінімум. Знайдемо похідну функції f(a) за a і прирівняємо її до нуля, щоб знайти мінімальне значення:

f'(a) = (1/4)a - 1/2

Прирівнюємо до нуля:

(1/4)a - 1/2 = 0

(1/4)a = 1/2

a = 2

Тепер перевіримо значення функції f(a) при a = 2:

f(2) = (2²/8) - (2/2) + 1/2 = (4/8) - 1 + 1/2 = 1/2 - 1 + 1/2 = 0

Отже, мінімальне значення функції f(a) при a = 2 дорівнює нулю, і для всіх інших значень a, функція f(a) буде більше або рівна нулю.

Отже, x + y + z = f(a) завжди більше або рівний нулю, що доводить, що вираз x + y + z набуває тільки невід'ємних значень.