Question

Составить уравнение касательной к графику функции f(x), если касательная параллельная оси абсцисс, если f(x)=√8x-x² (все под квадратным корнем)

Answer 1

1) Находим производную y ' =2x-4

k=0 , 2x-4=0, x = 2,

y=-4

2) y ' = -2x, k =0, -2x=0, x =0,

y=1

3) y ' =2x, k=0, x= 0

y=0

4 ) y ' =18x-1, k= 0, 18x-1= 0, x = 1/18

y=-1/36

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x)$, которая параллельна оси абсцисс, нам потребуется производная функции $f(x)$. Затем мы будем использовать полученное значение производной, чтобы найти угловой коэффициент касательной и её точку касания с графиком функции $f(x)$.

Данная функция $f(x)$ задана формулой: $f(x) = \sqrt{8x - x^2}.$

Давайте найдем производную этой функции. Для этого используем правило дифференцирования корня и степенную функцию: $f'(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{8x - x^2}.$

Применяем правило дифференцирования корня: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{8x - x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(8x - x^2).$

Теперь дифференцируем $8x - x^2$: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{8x - x^2}} \cdot (8 - 2x).$

Упростим это выражение: $f'(x) = \frac{4 - x}{\sqrt{8x - x^2}}.$

Теперь у нас есть производная функции $f(x)$, которая позволяет нам найти угловой коэффициент касательной в точке $x$. Чтобы касательная была параллельна оси абсцисс, её угловой коэффициент должен быть равен нулю. Таким образом, мы решаем уравнение: $f'(x) = 0,$

где $f'(x)$ - производная функции $f(x)$: $\frac{4 - x}{\sqrt{8x - x^2}} = 0.$

Теперь найдем значение $x$, при котором производная равна нулю: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4.$

Таким образом, касательная параллельная оси абсцисс будет проходить через точку $(4, 0)$. У нас есть точка касания и угловой коэффициент (нулевой), поэтому уравнение касательной будет иметь вид: $y - 0 = 0 \cdot (x - 4).$

Упростим уравнение: $y = 0.$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x)$, параллельной оси абсцисс, имеет вид $y = 0$.