Question

Площадь прямоугольного треугольника 294см^2. Найти длину гипотенузы если один из катетов на 7 см длиннее другого. ​

Answer 1

Ответ:

35 см

Объяснение:

Пусть х см - один катет, значит второй катет - х+7 см

S=1/2ав=1/2(х²+7х)

S=294 ⇒

1) 294=1/2(х²+7х)

588-х²-7х=0

х²+7х-588=0

D>0, т.к. с<0, с=-588

По т., обр. т. Виета

$\left \{ {{x1+x2=-7} \atop {x1*x2=-588}} \right.$

х1=-28 - посторонний корень, т.к. противоречит смыслу задачи

х2=21 (см)

2) 21+7=28 (см) - второй катет

3) По т. Пифагора

гипотенуза=√а²+в²=√21²+28²=35

Ответ: гипотенуза равна 35 см

Answer 2

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить формулой:

$S = \frac{1}{2}ab,$

где $a$ и $b$ - катеты треугольника. Условие задачи говорит нам, что один катет длиннее другого на 7 см, поэтому можно записать:

$a = b + 7.$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}(b + 7)b = 294.$

Упростим уравнение:

$b^2 + 7b - 588 = 0.$

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

$b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

В данном случае, $a = 1, b = 7, c = -588$. Подставим значения:

$b = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588)}}{2 \cdot 1}.$

$b = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 2352}}{2}.$

$b = \frac{-7 \pm \sqrt{2401}}{2}.$

$b = \frac{-7 \pm 49}{2}.$

Таким образом, у нас два возможных значения $b$: $b_1 = 6$ и $b_2 = -28$. Поскольку длины не могут быть отрицательными, выбираем $b = 6$. Теперь найдем $a$:

$a = b + 7 = 6 + 7 = 13.$

Таким образом, длины катетов равны 6 см и 13 см. Теперь, чтобы найти длину гипотенузы $c$, используем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

$c = \sqrt{13^2 + 6^2} = \sqrt{169 + 36} = \sqrt{205} \approx 14.32 \, \text{см}.$

Итак, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна примерно 14.32 см.