Question

Найдите значение производной функции f (x) = x^3 lnx в точке x0 = 1.

Answer 1

Производная произведения:

$(uv)'=u'v+uv'$

Рассмотрим функцию:

$f (x) = x^3 \ln x$

Находим производную:

$f' (x) = (x^3)' \cdot\ln x+ x^3\cdot( \ln x)'= 3x^2 \cdot\ln x+ x^3\cdot\dfrac{1}{x} =$

$=3x^2 \ln x+ x^2= x^2(3\ln x+1)$

Находим значение производной в требуемой точке:

$f' (x_0) = f' (1) =1^2\cdot(3\ln 1+1)=1\cdot(3\cdot0+1)=1$

Ответ: 1

Answer 2

Чтобы найти значение производной функции $f(x) = x^3 \ln(x)$ в точке $x_0 = 1$, нам нужно воспользоваться правилом производной произведения (производной умножения). Это правило гласит:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$,

где $u$ и $v$ - это две функции, а $u'$ и $v'$ - их производные.

В данном случае, $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln(x)$. Давайте найдем производные этих функций:

$u'(x) = 3x^2$ (производная степенной функции $x^3$).

$v'(x) = \frac{1}{x}$ (производная $\ln(x)$).

Теперь мы можем применить правило производной произведения:

$$f'(x) = (x^3)' \cdot \ln(x) + x^3 \cdot (\ln(x))' = (3x^2) \cdot \ln(x) + x^3 \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = 3x^2 \ln(x) + x^2.$$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$$f'(1) = 3 \cdot (1^2) \ln(1) + 1^2 = 3 \cdot 1 \cdot 0 + 1 = 0.$$

Таким образом, значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$ равно 0.