Question

Доказать, что ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| для любых чисел a и b.

Answer 1

$||a| - |b|| \leq |a|+|b| \ \textless \ =\ \textgreater \ (|a| - |b|)^2 \leq (|a| + |b|) ^ 2 \ \textless \ =\ \textgreater \ -2|ab| \leq 2|ab| \\ \ \textless \ =\ \textgreater \ |ab| \geq 0$

Answer 2

Для доказательства неравенства ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| для любых чисел a и b, мы можем использовать определение модуля.

1. Доказательство ||a|-|b||<=|a+b|: Рассмотрим три случая: - Если a >= b, то ||a|-|b|| = |a-b|, а |a+b| = |a+b|. Мы знаем, что |a-b|<=|a+b|, поэтому ||a|-|b||<=|a+b|. - Если a < b, то ||a|-|b|| = |b-a|, а |a+b| = |a+b|. Мы также знаем, что |b-a|<=|a+b|, поэтому ||a|-|b||<=|a+b|. - Если a = b, то ||a|-|b|| = 0, а |a+b| = |2a|. Очевидно, что 0<=|2a|, поэтому ||a|-|b||<=|a+b|.

2. Доказательство |a+b|<=|a|+|b|: Рассмотрим два случая: - Если a и b имеют одинаковый знак, то |a+b| = |a|+|b|. - Если a и b имеют разные знаки, то |a+b| = |a|+|b| или |a+b|<|a|+|b|, в зависимости от того, какие числа по модулю больше.

Таким образом, мы доказали, что ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| для любых чисел a и b.