Question

А) lg(x2 – 2х) = lg(2x + 12). б) log4 x + 3log4 x = 7. в) log2 (x2 + 4x + 1) + 1 = log2(6x + 2).

Answer 1

A)
lg(x²-2x)=lg(2x+12)
ОДЗ:  x² -2x>0                       2x+12>0
          x(x-2)>0                       2(x+6)>0
          x=0   x=2                      x+6>0
     +            -            +            x> -6
  ------ 0 --------- 2 --------
\\\\\\\\\                    \\\\\\\\\
          x∈(-∞; 0)U(2; +∞)

В итоге ОДЗ:  x∈(-6; 0)U(2; +∞)

x²-2x=2x+12
x²-2x-2x-12=0
x²-4x-12=0
D=(-4)² -4*(-12)=16+48=64
x₁=(4-8)/2=-2
x₂=(4+8)/2=6
Ответ: -2; 6.

б)
log₄ x + 3 log₄ x =7
ОДЗ:  x>0

4log₄ x=7
log₄ x=7/4
log₄ x=1.75
x=4^(1.75)
Ответ: 4^(1.75)

в)
log₂ (x²+4x+1)+1=log₂ (6x+2)
ОДЗ:    x² +4x+1>0                                6x+2>0
            x²+4x+1=0                                  6x> -2
            D=4² -4*1=12                              x> -1/3≈ -0.333
            x₁=(-4-2√3)/2=-2-√3≈ -3.73
            x₂= -2+√3≈ -0.27
     +                           -                       +
--------- -2 - √3 --------------- -2+√3 -------------
\\\\\\\\\\\\\\                                        \\\\\\\\\\\\\\\\
          x∈(-∞; -2-√3)U(-2+√3; +∞)
В итоге ОДЗ:  x∈(-2+√3; +∞)

log₂ (x²+4x+1)+log₂ 2=log₂ (6x+2)
log₂ (2(x²+4x+1))=log₂ (6x+2)
2(x²+4x+1)=6x+2
2(x²+4x+1)=2(3x+1)
x²+4x+1=3x+1
x²+4x-3x+1-1=0
x²+x=0
x(x+1)=0
x=0       x+1=0
             x= -1 - не подходит по ОДЗ
Ответ: 0.

Answer 2

A) Преобразуем уравнение lg(x^2 - 2x) = lg(2x + 12):

x^2 - 2x = 2x + 12

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - 2x - 2x - 12 = 0

x^2 - 4x - 12 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-4)^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64

x1,2 = (-(-4) ± √64) / (2*1) x1,2 = (4 ± 8) / 2 x1 = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6 x2 = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2

Ответ: x1 = 6, x2 = -2

B) Преобразуем уравнение log4(x) + 3log4(x) = 7:

log4(x) + log4(x^3) = 7

Применим свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(ab):

log4(x * x^3) = 7

log4(x^4) = 7

Применим свойство логарифмов log(a^n) = n*log(a):

4log4(x) = 7

Так как log4(x) = 1, так как 4 в степени 1 равно 4:

4 = 7

Это уравнение не имеет решений.

C) Преобразуем уравнение log2(x^2 + 4x + 1) + 1 = log2(6x + 2):

log2(x^2 + 4x + 1) = log2(6x + 2) - 1

Применим свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b):

log2(x^2 + 4x + 1) = log2(6x + 2) / 2

Так как логарифмы равны, то и их аргументы равны:

x^2 + 4x + 1 = (6x + 2) / 2

x^2 + 4x + 1 = 3x + 1

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

x^2 + 4x - 3x = 0

x^2 + x = 0

x(x + 1) = 0

x1 = 0, x2 = -1

Ответ: x1 = 0, x2 = -1