Question

Помогите срочно Решите неравенство: а) cos^2x+1/2≥sin^2x; б) 1/ctg(x-π/4) ≥√3/3 ​

Answer 1

Ответ:

А ты точно все правильно написал?

Answer 2

Давайте решим данные неравенства.

а) Рассмотрим неравенство $\cos^2(x) + \frac{1}{2} \geq \sin^2(x)$. Сначала перепишем его, используя тригонометрические тождества:

$\cos^2(x) - \sin^2(x) + \frac{1}{2} \geq 0$

Используя тригонометрические тождества $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$, мы получаем:

$1 - 2\sin^2(x) + \frac{1}{2} \geq 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $\sin^2(x)$:

$\sin^2(x) \leq \frac{3}{4}$

Так как $\sin^2(x)$ не может быть отрицательным, то:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \sin(x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Рассмотрим неравенство $\frac{1}{\cot(x - \frac{\pi}{4})} \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$. Преобразуем $\cot(x - \frac{\pi}{4})$ используя тригонометрические тождества:

$\frac{1}{\cot(x - \frac{\pi}{4})} = \tan(x - \frac{\pi}{4})$

Теперь перепишем неравенство:

$\tan(x - \frac{\pi}{4}) \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполнено. Учитывая периодичность функции тангенс, мы имеем:

$x - \frac{\pi}{4} \geq \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$

Решая это неравенство относительно $x$, получаем:

$x \geq \frac{5\pi}{12} + k\pi$