Question

Cosx+cos3x=4cos2x По возможности максимально развёрнуто

Answer 1

Cosx + cos3x = 4cos2x
2*[cos(x+3x)/2]*[cos(x-3x)/2] = 4 cos2x
2*cos2x*cosx - 4cos2x = 0
2*cos2x(cosx - 2) = 0
1) 2cos2x = 0
cos2x = 0
2x = π/2 + πk, k∈Z
x = π/4 + πk/2, k∈Z
2) cosx - 2 = 0
cosx = 2 не удовлетворяет условию IcosxI ≤ 1
Ответ: x = π/4 + πk/2, k∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества. Начнем с преобразования cos3x в более простую форму.

Используя формулу двойного угла, мы можем выразить cos3x через cosx и cos2x: cos3x = 4cos^3x - 3cosx.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение: cosx + 4cos^3x - 3cosx = 4cos2x.

Упростим уравнение: 4cos^3x + cosx - 3cosx = 4cos2x.

Теперь приведем подобные члены: 4cos^3x - 2cosx = 4cos2x.

Мы видим, что у нас получилось уравнение вида 4cos^3x - 2cosx = 4cos2x.

Теперь мы можем воспользоваться формулой двойного угла для cos2x, чтобы выразить cos2x через cosx: cos2x = 2cos^2x - 1.

Подставим это выражение в уравнение: 4cos^3x - 2cosx = 4(2cos^2x - 1).

Раскроем скобки: 4cos^3x - 2cosx = 8cos^2x - 4.

Теперь приведем подобные члены и приведем уравнение к виду кубического уравнения: 4cos^3x - 8cos^2x + 2cosx - 4 = 0.

Это уравнение уже не так просто решить аналитически, поэтому для нахождения корней потребуется использовать численные методы или специальные формулы для решения кубических уравнений.