Question

Найдите точку максимума функции y=lnx- x2/2

Answer 1

ОДЗ :х∈(0;+∞)

у'=1/x -2x/2=1/x-x=(1-x²)/x=(1-х)*(1+х)*х

х=1; х=-1; х=0

________-1_________0___________1______

                                                   +                          -

х=1- точка максимума функции у=lnx- x²/2

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции $y = \ln(x) - \frac{x^2}{2}$, мы должны найти ее производную и найти значения $x$, где производная равна нулю.

1. Найдем производную функции $y$:

$y = \ln(x) - \frac{x^2}{2}$

$y' = \frac{1}{x} - x$

2. Теперь найдем значения $x$, при которых $y' = 0$:

$\frac{1}{x} - x = 0$

Умножим обе стороны на $x$ для упрощения:

$1 - x^2 = 0$

Теперь решим это уравнение:

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Таким образом, у нас есть две кандидатки на точки максимума: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Чтобы определить, какая из них является точкой максимума, мы можем воспользоваться второй производной тестом. Для этого найдем вторую производную $y''$ и оценим ее значение в обоих точках $x = 1$ и $x = -1$:

$y'' = -\frac{1}{x^2} - 1$

a) Для $x = 1$:

$y''(1) = -\frac{1}{1^2} - 1 = -1 - 1 = -2$

b) Для $x = -1$:

$y''(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} - 1 = -1 - 1 = -2$

В обоих случаях значение второй производной отрицательно ($y'' < 0$), что указывает на то, что обе точки $x = 1$ и $x = -1$ являются точками максимума.

Теперь мы можем найти соответствующие значения $y$:

a) Для $x = 1$:

$y(1) = \ln(1) - \frac{1^2}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

b) Для $x = -1$:

$y(-1) = \ln(-1) - \frac{(-1)^2}{2}$

Заметьте, что $\ln(-1)$ не определено для вещественных чисел, поэтому точка $x = -1$ не является допустимой точкой в этой функции.

Итак, точка максимума функции $y = \ln(x) - \frac{x^2}{2}$ находится в $x = 1$ и имеет значение $y = -\frac{1}{2}$.