Question

Упростите выражение cos^2(2π-a)-ctg^2(π/2-a)*sin^2(270+a)(черта дроби) 2cos(360+2a)*sin(π-a)

Answer 1

Cos²a-tg²a*cos²a=cos²a-sin²a/cos²a*cos²a=cos²a-sin²a=cos2a

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением поэтапно.

1. Упрощение выражения cos^2(2π-a)

Начнем с упрощения выражения \( \cos^2(2\pi - a) \). Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить \( \cos(2\pi - \theta) \) на \( \cos(\theta) \), так как косинус является четной функцией. Таким образом, \( \cos^2(2\pi - a) \) превращается в \( \cos^2(a) \).

2. Упрощение выражения ctg^2(π/2-a)

Теперь рассмотрим выражение \( \cot^2(\frac{\pi}{2} - a) \). Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить \( \cot(\frac{\pi}{2} - \theta) \) на \( \tan(\theta) \), так как котангенс является квази-четной функцией (с точностью до знака). Таким образом, \( \cot^2(\frac{\pi}{2} - a) \) превращается в \( \tan^2(a) \).

3. Упрощение выражения sin^2(270+a)

Теперь рассмотрим выражение \( \sin^2(270 + a) \). Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить \( \sin(270 + \theta) \) на \( -\cos(\theta) \), так как синус является нечетной функцией. Таким образом, \( \sin^2(270 + a) \) превращается в \( \cos^2(a) \), так как \( \cos(-x) = \cos(x) \).

4. Упрощение выражения 2cos(360+2a)*sin(π-a)

Теперь рассмотрим выражение \( 2\cos(360 + 2a) \cdot \sin(\pi - a) \). Первое слагаемое, \( \cos(360 + 2a) \), равно \( \cos(2a) \) из-за периодичности косинуса. Второе слагаемое, \( \sin(\pi - a) \), равно \( \sin(a) \) из-за периодичности синуса. Таким образом, выражение превращается в \( 2\cos(2a) \cdot \sin(a) \).

5. Итоговое упрощенное выражение

Теперь, когда мы упростили все компоненты и заменили их в исходном выражении, мы получаем:

\[ \cos^2(a) - \tan^2(a) \cdot \cos^2(a) + 2\cos(2a) \cdot \sin(a) \]

Если есть необходимость, я могу продолжить упрощение этого выражения или выполнить другие операции над ним.