Question

Я УЖЕ 6 РАЗ ПЕРЕСПРАШИВАЮ!!!! Задано выражение: (2x^2 - 2)^2 - 4x^3(x^3 + x^2 - x - 2) +4(x^2)^3 + 20x^9/5x^4 - 2(4x^3 +1) а) Преобразуйте выражение, чтобы получить многочлен стандартного вида. Укажите степень многочлена. б) Докажите, что при любых целых значениях x многочлен делится на 2. в) Докажите, что при любых действительных значениях x многочлен не может принимать отрицательных значений.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) 4x^4-8x^2+4-4x^6-4x^5+4x^4+8x^3+4x^6+4x^5-8x^3-2=8x^4-8x^2+2

четвертая степень

б) Запишем 8x^4-8x^2+2 как 8x^2(x^2-1)+2

Для случая |х| ∈ [0,1] произведение обращается в 0, а выражение равно 2. Двойка делится на 2, что и требовалось доказать.

Для случая |x| ≥ 2, x² может быть четным или нечетным. Если x² - четное, то (x² - 1) - нечетное. Произведение x² (x² -1) - всегда четное, умножение на 8 эту четность сохраняет, как и суммирование с числом 2. Таким образом выражение всегда четное, то есть делится на 2, ч.т.д.

в) Поскольку х возводится в четные степени (четвертую и вторую), то 8 x^4 - всегда положительное число. А поскольку речь о целых числах, то для любых |x|≥2 8x^4 будет больше, чем 8x², то есть их разница будет положительной.

В случаях, |x| ∈ [-1,1], при х = 0 оба первых слагаемых обращаются в нуль и остается только 2, положительное число, а при х = -1 или х = 1, сумма первых слагаемых обращается в 0, тогда значение выражения также становится равно 2, положительному числу.

Так мы доказали, что для любых целых х наше выражение всегда положительно.  

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение и выполним указанные вами действия.

Исходное выражение: $(2x^2 - 2)^2 - 4x^3(x^3 + x^2 - x - 2) + 4(x^2)^3 + \frac{20x^9}{5x^4} - 2(4x^3 + 1)$

а) Преобразование выражения:

1. Раскроем квадрат в первом члене: $(4x^4 - 8x^2 + 4) - 4x^3(x^3 + x^2 - x - 2) + 4x^6 + \frac{4x^5}{x} - 8x^3 - 2$

2. Упростим скобки: $4x^4 - 8x^2 + 4 - 4x^6 - 4x^5 + 4x^4 + 8x^3 - 4x^3 - 8x^2 + 4x - 8$

3. Сгруппируем одинаковые члены: $-4x^6 - 4x^5 + 4x^4 + 8x^3 - 12x^2 + 4x - 12$

Этот многочлен имеет стандартный вид и его степень - 6.

б) Докажем, что многочлен делится на 2 для любых целых значений x. Для этого достаточно показать, что каждый коэффициент при членах многочлена делится на 2. Рассмотрим каждый член по очереди:

1. Коэффициент при $x^6$: -4, делится на 2.
2. Коэффициент при $x^5$: -4, делится на 2.
3. Коэффициент при $x^4$: 4, делится на 2.
4. Коэффициент при $x^3$: 8, делится на 2.
5. Коэффициент при $x^2$: -12, делится на 2.
6. Коэффициент при $x$: 4, делится на 2.
7. Свободный член: -12, делится на 2.

Таким образом, каждый коэффициент многочлена делится на 2, что означает, что многочлен делится на 2 для любых целых значений x.

в) Чтобы доказать, что многочлен не может принимать отрицательных значений для любых действительных значений x, можно заметить, что коэффициент при $x^6$ отрицательный, и это является наивысшей степенью многочлена. Таким образом, многочлен будет положительным при больших положительных и отрицательных значениях x. Коэффициенты меньших степеней могут быть положительными или отрицательными, но их влияние на значение многочлена будет уменьшаться по мере увеличения x. Поэтому многочлен не может принимать отрицательных значений для любых действительных x.