Question

В арифметической прогрессии сумма 2-го, 4-го и 6-го членов равна 84, а произведение 4-го и 7-го членов равно 196. Сколько членов этой прогрессии следует взять, чтобы их сумма равнялась 196? Срочно,помогите пожалуйста!Даю 50баллов!

Answer 1

$\left\{\begin{array}{ccc}a_{2}+a_{4}+a_{6} =84 \\a_{4}\cdot a_{7}=196 \end{array}\right \\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+d+a_{1}+3d+a_{1} +5d=84 \\(a_{1}+3d)\cdot (a_{1}+6d)=196 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}3a_{1}+9d=84 \\(a_{1}+3d)\cdot (a_{1}+6d)=196 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\(a_{1}+3d)\cdot (a_{1}+6d)=196 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\28\cdot (28+3d)=196 \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\784+84d=196 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\84d=-588 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\d=-7 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}=28-3\cdot (-7) \\d=-7 \end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}=49\\d=-7\end{array}\right$

$S_{n} =196 \ , \ n=?\\\\196=\dfrac{2a_{1} +d(n-1) }{2}\cdot n \\\\392=(2\cdot49-7n+7)\cdot n\\\\392=(105-7n)\cdot n\\\\7n^{2} -105n+392=0\\\\n^{2} -15n+56=0\\\\Teorema \ Vieta :\\\\n_{1}=7 \ ; \ n_{2}=8$

Проверкой убеждаемся , что следует взять 7 членов .

Answer 2

Ответ:

Можно взять 7 или 8 членов прогрессии

Объяснение:

Дано:

a₂ + a₄ + a₆ = 84

a₄ · a₇ = 196

Sn = 196

Найти:

n

Решение:

а₁ + d + a₁ + 3d + a₁ + 5d = 84

(a₁ + 3d)(a₁ + 6d) = 196

3a₁ + 9d = 84

a₁² + 9a₁d + 18d² = 196

a₁ = 28 - 3d

(28 - 3d)² + 9d(28 - 3d) + 18d² = 196

784 - 168d + 9d² + 252d - 27d² + 18d² = 196

84d + 588 = 0

84d = - 588

d = -7

a₁ = 28 - 3 (-7) = 49

$a_n = a_1 + d(n-1)$

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$

$S_n = \dfrac{a_1 + a_1 + d\cdot (n-1)}{2}\cdot n$

$2S_n = 2a_1n+ dn^2 - dn$

2 · 196 = 2 · 49n - 7n² + 7n

7n² - 105 n + 392 = 0

n² - 15n + 56 = 0

D = 225 - 224 = 1

n₁ = 0.5(15 - 1) = 7

n₂ = 0.5(15 + 1) = 8

можно взять 7 членов прогрессии

$a_7 = 49 -6\cdot 7 = 7$

$S_7 = 0.5(49 +7)\cdot 7 = 196$

а можно взять и 8 членов прогрессии, так как

$a_8 = a_7 + d = 7 - 7 = 0$

Answer 3

Давайте решим эту задачу. Для начала, давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как 'a', а разницу между соседними членами как 'd'.

Теперь у нас есть два условия:

1. Сумма 2-го, 4-го и 6-го членов равна 84: a(2) + a(4) + a(6) = 84

2. Произведение 4-го и 7-го членов равно 196: a(4) * a(7) = 196

Мы можем использовать формулы для нахождения членов арифметической прогрессии:

a(n) = a + (n - 1) * d

1. Из первого условия у нас есть: a + d + a + 3d + a + 5d = 84

2. Из второго условия у нас есть: a + 3d * a + 6d = 196

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и d):

1. 3a + 9d = 84
2. a + 6d = 196

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Сначала решим второе уравнение относительно a:

a = 196 - 6d

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

3(196 - 6d) + 9d = 84

Раскроем скобки:

588 - 18d + 9d = 84

Теперь объединим переменные:

-9d = 84 - 588 -9d = -504

Теперь разделим обе стороны на -9, чтобы найти d:

d = 56

Теперь, когда мы знаем значение d, мы можем найти a, используя второе уравнение:

a = 196 - 6 * 56 a = 196 - 336 a = -140

Теперь у нас есть первый член (a) и разница (d) в арифметической прогрессии:

a = -140 d = 56

Чтобы найти, сколько членов этой прогрессии следует взять, чтобы их сумма равнялась 196, мы можем воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии:

S(n) = (n/2) * [2a + (n-1)d]

Мы хотим, чтобы сумма была равна 196, поэтому:

(n/2) * [2a + (n-1)d] = 196

Подставляем значения a и d:

(n/2) * [2 * (-140) + (n-1) * 56] = 196

(n/2) * [-280 + 56n - 56] = 196

(n/2) * [-336 + 56n] = 196

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной n. Решим его:

-168n + 28n^2 = 196

Упростим:

28n^2 - 168n + 196 = 0

Разделим все коэффициенты на 28:

n^2 - 6n + 7 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что:

n^2 - 6n + 7 = (n - 7)(n - 1) = 0

Из этого уравнения два возможных решения: n = 1 и n = 7.

Таким образом, чтобы сумма членов этой арифметической прогрессии равнялась 196, следует взять 7 членов.