Question

Исследовать функцию на экстремум: y=x/4-4/x. Дополнительно: указать промежутки возрастания и убывания функции. Пожалуйста, с подробным решением.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x/4  -4/x   y'=1/4  + 4/x^2=(x^2+4) /4x^2  ( ^ -знак степени),  х не = 0

видим, что y'>0 при любом  х,  (кроме  х=0), значит функция возрастает на

(-Б;0) и (0;+Б)    (Б- бесконечность), точек экстремума нет

Answer 2

Для исследования функции y = x/4 - 4/x на экстремумы и промежутки возрастания/убывания, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по x.
2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Используем вторую производную для определения характера критических точек (максимум, минимум или точка перегиба).
4. Определим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y'(x) = (1/4) - (-4/x^2)

Упростим это выражение:

y'(x) = 1/4 + 4/x^2

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует:

1/4 + 4/x^2 = 0

Уберем общий знаменатель, чтобы решить уравнение:

x^2 + 16 = 0

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как x^2 всегда неотрицательно, и добавление 16 только увеличивает положительное значение. Таким образом, у нас нет критических точек, где производная равна нулю.

Шаг 3: Определим характер критических точек, используя вторую производную:

y''(x) = 0 - (-8/x^3) = 8/x^3

Теперь давайте анализируем знак второй производной и определяем характер критических точек:

• Если y''(x) > 0, то это минимум.
• Если y''(x) < 0, то это максимум.
• Если y''(x) = 0, то это точка перегиба.

В данном случае, y''(x) = 8/x^3, и она всегда положительна для x ≠ 0. Это означает, что у нас нет максимумов или минимумов, только точки перегиба.

Шаг 4: Определим промежутки возрастания и убывания функции:

На основе первой производной y'(x) = 1/4 + 4/x^2:

• Когда y'(x) > 0, функция возрастает.
• Когда y'(x) < 0, функция убывает.

У нас есть два случая для анализа:

1. Когда x > 0: В этом случае 4/x^2 всегда положительно, и 1/4 также положительно. Таким образом, y'(x) всегда положительно для x > 0, и функция возрастает на этом интервале.

2. Когда x < 0: Здесь у нас также 4/x^2 всегда положительно, но 1/4 отрицательно. Таким образом, y'(x) всегда отрицательно для x < 0, и функция убывает на этом интервале.

Итак, функция y = x/4 - 4/x возрастает при x > 0 и убывает при x < 0. В этой функции нет экстремумов, только точки перегиба.