Question

Даю 50 баллов ! Исследовать функцию y = x² - 2x - 8

Answer 1

Ответ:

__________________________

Answer 2

Спасибо за вопрос! Давайте проведем исследование функции $y = x^2 - 2x - 8$.

1. Нахождение вершины параболы: Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет координаты $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k = c - \frac{b^2}{4a}$. В данной функции $a = 1$, $b = -2$ и $c = -8$, поэтому:

   $h = -\frac{-2}{2(1)} = 1$

   $k = -8 - \frac{(-2)^2}{4(1)} = -8 + \frac{4}{4} = -7$

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -7)$.

2. Направление открытия параболы: Так как коэффициент при $x^2$ положительный (1), парабола открывается вверх.

3. Нахождение оси симметрии: Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через её вершину. В данном случае, ось симметрии проходит через точку $x = 1$.

4. Нахождение точек пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, мы решаем уравнения $y = 0$ (для оси x) и $x = 0$ (для оси y).

   Для оси x: $0 = x^2 - 2x - 8$. Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение:

   $x^2 - 2x - 8 = 0$

   Решая это уравнение, мы получим два корня: $x = -2$ и $x = 4$.

   Для оси y: $y = 0$ всегда, поэтому точка пересечения с осью y - это точка (0, 0).

5. Нахождение интервалов возрастания и убывания: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы анализируем знак производной функции. Производная $y'$ функции $y = x^2 - 2x - 8$ равна $y' = 2x - 2$.

   • Когда $x < 1$, $y' < 0$, что означает, что функция убывает на этом интервале.
   • Когда $x > 1$, $y' > 0$, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

6. Нахождение экстремумов: Единственный экстремум этой функции - это минимум, который находится в точке вершины параболы $(1, -7)$.

7. График функции: Мы можем построить график функции $y = x^2 - 2x - 8$ с учетом всех вышеуказанных результатов.

   

На графике видно, что парабола открывается вверх, имеет вершину в точке (1, -7), пересекает ось x в точках (-2, 0) и (4, 0), и она убывает на интервале (-бесконечность, 1) и возрастает на интервале (1, +бесконечность).