Question

Доведіть нерівність:x2+18x+85>0

Answer 1

x² + 18x + 85 > 0 ; x² + 18x + 85 = 0 , D = 18² - 4 * 1 * 85 = 324 - 340 = -16 , D < 0 ⇒ корней нет ⇒ x² + 18x + 85 ≠ 0 при любых значениях x ⇒ знак квадратного трехчлена x² + 18x + 85 совпадает со знаком при старшем коэффициенте ⇒ значение x² + 18x + 85 положительно при любых x ⇒ x² + 18x + 85 > 0 при любых x.

Answer 2

Для доведення нерівності $x^2 + 18x + 85 > 0$, спробуємо розкласти ліву частину нерівності на множники. Спочатку знайдемо два числа, які мають суму 18 (коефіцієнт перед $x$) і добуток 85 (вільний член).

Два числа, які задовольняють ці умови, це 5 і 17, оскільки $5 + 17 = 22$ і $5 \cdot 17 = 85$.

Тепер ми можемо розкласти ліву частину нерівності на множники:

$x^2 + 18x + 85 = (x + 5)(x + 17)$

Тепер ми можемо переписати нерівність з використанням цього розкладу:

$(x + 5)(x + 17) > 0$

Тепер розглянемо три можливі випадки в залежності від знаків $x + 5$ і $x + 17$:

1. Якщо обидва доданки, $x + 5$ і $x + 17$, є додатніми: $(x + 5) > 0$ і $(x + 17) > 0$ Це вірно для $x > -5$ і $x > -17$, що означає, що рішенням цього випадку є $x > -5$.

2. Якщо обидва доданки, $x + 5$ і $x + 17$, є від'ємними: $(x + 5) < 0$ і $(x + 17) < 0$ Це вірно для $x < -5$ і $x < -17$, що означає, що рішенням цього випадку є $x < -17$.

3. Якщо один з доданків є додатнім, а інший від'ємним: $(x + 5) > 0$ і $(x + 17) < 0$, або $(x + 5) < 0$ і $(x + 17) > 0$ У першому випадку рішенням є $x > -5$ і $x < -17$, а у другому випадку рішенням є $x < -5$ і $x > -17$.

Отже, рішенням нерівності $x^2 + 18x + 85 > 0$ є:

• $x < -17$
• або
• $-5 < x < -17$