Question

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. если к членам арифметической прогрессии а1,а2,а3 прибавить соотвественно 1,5 и 15, то полученные числа формируют геометрическую прогрессии b1,b2,b3. a)найдите второй член арифметической прогрессии б) найдите разность арифметической прогрессии

Answer 1

Ответ:

а) 7 ;    б) 2.

Объяснение:

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21, если к членам арифметической прогрессии а1, а2, а3 прибавить соответственно 1, 5 и 15 , то полученные числа формируют геометрическую прогрессию b1,b2,b3.

а) найти второй член арифметической прогрессии

б) найти разность арифметической прогрессии.

По условию заданы числа   $a{_1},a{_2}, a{_3}$ , которые образуют арифметическую прогрессию и их сумма равна 21.

$a{_1}+a{_2}+a{_3} =21$

Воспользуемся формулой n- го члена арифметической прогрессии

$a{_n}= a{_1} +d\cdot (n-1)$

и выразим данную сумму через первый член и разность арифметической прогрессии

$a{_1} +a{_1} +a{_1} +2d =21;\\\\3a{_1} +3d =21;\\\\3(a{_1} +d)=21;\\\\a{_1} +d =7$

Тогда второй член равен 7.

Теперь к данным числам прибавили соответственно 1, 5 и 15

$a{_1}+1;7+5; a{_3}+15;\\\\a{_1}+1;12; a{_3}+15$

Полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: если даны три последовательных члена геометрической прогрессии, то произведение крайних равно квадрату среднего.

$(a{_1}+1)\cdot( a{_3}+15)=12^{2} ;\\\\(a{_1}+1)\cdot( a{_3}+15)=144;\\\\(a{_1}+1)\cdot( a{_1}+2d+15)=144;\\\\(a{_1}+1)\cdot( a{_1}+d+d+15)=144;\\\\(a{_1}+1)\cdot( 7+d+15)=144;\\\\(a{_1}+1)\cdot( d+22)=144$

Тогда из полученных уравнений составим систему и решим её.

$\left \{\begin{array}{l} a{_1}+d =7 , \\( a{_1} +1) (d+22)=144; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1} =7-d , \\( 7-d +1) (d+22)=144; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1} =7-d , \\( 8-d ) (d+22)=144; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1} =7-d , \\8d +176-d^{2} -22d-144=0; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1} =7-d , \\-d^{2} -14d+32=0; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1} =7-d , \\d^{2} +14d-32=0. \end{array} \right.$

Решим полученное квадратное уравнение

$d^{2} +14d-32 =0;\\D= 14^{2} -4\cdot1\cdot(-32)= 196 +128=324 > 0;\\\\d{_1}= \dfrac{-14-18}{2} =-\dfrac{32}{2} =-16;\\\\d{_2}= \dfrac{-14+18}{2} =\dfrac{4}{2} =2$

Так как по условию сказано, что задана возрастающая арифметическая прогрессия, то d>0 . Тогда  d= 2.

#SPJ1

Answer 2

Давайте начнем с решения этой задачи.

Для арифметической прогрессии, сумма первых трех членов равна 21, что можно записать следующим образом:

a1 + a2 + a3 = 21

Следующий шаг - создать геометрическую прогрессию b1, b2, b3, добавив 1, 5 и 15 к соответствующим членам арифметической прогрессии:

b1 = a1 + 1 b2 = a2 + 5 b3 = a3 + 15

Теперь мы можем использовать свойство геометрической прогрессии, что отношение двух последовательных членов одинаково:

b2 / b1 = b3 / b2

(a2 + 5) / (a1 + 1) = (a3 + 15) / (a2 + 5)

Теперь мы имеем два уравнения:

1. a1 + a2 + a3 = 21
2. (a2 + 5) / (a1 + 1) = (a3 + 15) / (a2 + 5)

Давайте решим эти уравнения.

Сначала выразим a1 + a3 из первого уравнения:

a1 + a3 = 21 - a2

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(a2 + 5) / (a1 + 1) = (a3 + 15) / (a2 + 5)

(a2 + 5) / (21 - a2 + 1) = (a2 + 15 + 15) / (a2 + 5)

(a2 + 5) / (22 - a2) = (a2 + 30) / (a2 + 5)

Теперь можно умножить обе стороны на (22 - a2) и (a2 + 5) для упрощения:

(a2 + 5)(a2 + 30) = (a2 + 5)(22 - a2)

Раскроем скобки:

a2^2 + 35a2 + 150 = 22a2 - a2^2 + 5a2

Теперь сгруппируем все члены на одной стороне уравнения:

a2^2 - 22a2 + a2^2 + 35a2 - 5a2 - 150 = 0

2a2^2 + 30a2 - 150 = 0

Далее, разделим обе стороны на 2:

a2^2 + 15a2 - 75 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

a2^2 + 15a2 - 75 = (a2 + 5)(a2 + 15) = 0

Теперь мы видим два возможных значения a2:

1. a2 + 5 = 0 a2 = -5

2. a2 + 15 = 0 a2 = -15

Так как a2 обозначает второй член арифметической прогрессии, и она возрастающая, то a2 не может быть отрицательным. Следовательно, a2 = -5 не подходит.

Итак, второй член арифметической прогрессии равен a2 = -15.

Теперь найдем разность арифметической прогрессии. Для этого можно воспользоваться первым уравнением:

a1 + a2 + a3 = 21

Подставим значение a2 = -15:

a1 - 15 + a3 = 21

Теперь выразим a1 + a3:

a1 + a3 = 21 + 15 = 36

Разность арифметической прогрессии равна сумме a1 и a3, то есть равна 36.