Question

f(x)=x^3-3x^2+ax+b делится на х+1 без остатка. Если f(x) делим х+2 остаток равен остатку f(x) делим х-2. Найдите a и b

Answer 1

1)если f(x)=x^3-3x^2+ax+b делится на х+1 без остатка, то x=-1-корень уравнения x^3-3x^2+ax+b=0

f(-1)=-1-3-a+b=0

b=a+4

2)подставлю это b в f(x)

f(x)=x^3-3x^2+ax+a+4

разделю его на x-2

(x^3-3x^2+ax+a+4)/(x-2)=x^2-x+a210 , остаток 3a

такой же остаток при делении на х+2. поэтому я вычту его из

x^3-3x^2+ax+4 , тогда

x^3-3x^2+ax+a+4-3a=x^3-3x^2+ax-2a+4 должно делиться на х+2 без остатка

(x^3-3x^2+ax-2a+4)/(x+2)=x^2-5x+a+10 +остаток -4a-16, приравняв его к 0, получу а=-4

тогда b=a+4=-4+4=0

Ответ a=-4;b=0

Answer 2

Чтобы найти значения параметров a и b, учитывая условия, что f(x) делится на (x+1) без остатка и остаток при делении f(x) на (x+2) равен остатку при делении на (x-2), мы можем воспользоваться методом деления многочленов (синтетическим делением).

1. Делим f(x) на (x+1):

cssCopy code
       x^2 - 4x + 4
x + 1 | x^3 - 3x^2 + ax + b
         - (x^3 + x^2)
-------------------
              - 4x^2 + ax + b

Мы видим, что остаток от деления на (x+1) равен -4x^2 + ax + b.

2. Делим f(x) на (x+2):

cssCopy code
       x^2 - x + 2
x + 2 | x^3 - 3x^2 + ax + b
         - (x^3 + 2x^2)
-------------------
              - 5x^2 + ax + b

Мы видим, что остаток от деления на (x+2) равен -5x^2 + ax + b.

3. Теперь у нас есть два уравнения для остатков:

a) -4x^2 + ax + b б) -5x^2 + ax + b

Оба остатка должны быть одинаковыми, так как остаток при делении на (x+2) равен остатку при делении на (x-2). Следовательно:

-4x^2 + ax + b = -5x^2 + ax + b

Теперь уберем общие члены:

-4x^2 + ax + b - (-5x^2 + ax + b) = 0

Теперь упростим:

-4x^2 + ax + b + 5x^2 - ax - b = 0

Теперь сложим члены:

x^2 = 0

Это уравнение имеет одно решение: x = 0.

Итак, мы видим, что a и b могут быть любыми числами, так как они не влияют на остаток при делении f(x) на (x+1) и (x+2), поскольку их коэффициенты исчезают при вычислениях остатков.