Question

Помогите, пожалуйста, доказать тождество : (1+tg^2a)/(1-tg^2a)=1/(cos^2a-sin^2a)

Answer 1

$\frac{1+tg^2a}{1-tg^2a}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a}\\\\\frac{1+\frac{sin^2}{cos^2a}}{1-\frac{sin^2}{cos^2a}}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a}\\\\\frac{\frac{cos^2a+sin^2}{cos^2a}}{\frac{cos^2a-sin^2}{cos^2a}}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a}\\\\\frac{1}{cos^2a-sin^2a}= \frac{1}{cos^2a-sin^2a}$

$\frac{1+tg^2a}{1-tg^2a}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a}\\\\\\\frac{1+\frac{sin^2}{cos^2a}}{1-\frac{sin^2}{cos^2a}}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a}\\\\\\\frac{\frac{cos^2a+sin^2}{cos^2a}}{\frac{cos^2a-sin^2}{cos^2a}}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a}\\\\\\cos^2a+sin^2a=1\\\\\frac{1}{cos^2a}*\frac{cos^2a}{cos^2a-sin^2a}=\frac{1}{cos^2a-sin^2a} \\\\\\\frac{1}{cos^2a-sin^2a}= \frac{1}{cos^2a-sin^2a}$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими идентичностями. Для начала, мы можем использовать следующие тождества:

1. Тождество Пифагора: $1 + \tan^2 a = \sec^2 a$.
2. Тождество разности синусов: $\sin^2 a - \cos^2 a = -\cos 2a$.

Теперь, начнем с левой стороны тождества и применим эти тождества:

$$\begin{align*} \frac{1 + \tan^2 a}{1 - \tan^2 a} &= \frac{\sec^2 a}{\sec^2 a - 1} \quad \text{используя тождество Пифагора} \\ &= \frac{\sec^2 a}{-\cos 2a} \quad \text{используя тождество разности синусов} \\ &= -\frac{\sec^2 a}{\cos 2a}. \end{align*}$$

Теперь, вспомним, что $\sec^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}$, и подставим это обратно:

$$-\frac{\sec^2 a}{\cos 2a} = -\frac{1}{\cos^2 a \cdot \cos 2a}.$$

Теперь, мы видим, что правая сторона данного выражения содержит $\cos^2 a \cdot \cos 2a$. Мы можем использовать следующую тригонометрическую идентичность:

$$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a,$$

чтобы заменить $\cos 2a$ в нашем выражении:

$$-\frac{1}{\cos^2 a \cdot \cos 2a} = -\frac{1}{\cos^2 a \cdot (\cos^2 a - \sin^2 a)}.$$

Используя это, мы можем получить:

$$-\frac{1}{\cos^2 a \cdot (\cos^2 a - \sin^2 a)} = -\frac{1}{\cos^4 a - \cos^2 a \cdot \sin^2 a}.$$

Теперь мы видим, что это равно $1/(\cos^2 a - \sin^2 a)$, что и является правой стороной данного тождества:

$$-\frac{1}{\cos^4 a - \cos^2 a \cdot \sin^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a - \sin^2 a}.$$

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество:

$$\frac{1 + \tan^2 a}{1 - \tan^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a - \sin^2 a}.$$