Question

1. решить уравнение 2sin^2 (2x)-1=cos(2x)(1-cos(2x)) 2.доказать тождество sin^4(a)-cos^4(a)/sin(a)-cos(a)=sin(a)+cos(a) 3.упростить выражение cos(a)-sin(-a)/cos(-a) это все +tg(-a)

Answer 1

Ответ:

(2sin2x - cos2x)(1 + cos2x) = sin22x. Раскроем скобки:

2sin2x - cos2x + 2sin2x * cos2x - cos22x = sin22x.

- cos2x - cos22x + 2sin2x + 2sin2x * cos2x - sin22x = 0.

2cos22x * (2sin2x – 1) = 0 → cos22x * (2sin2x – 1) = 0.

Данное произведение будет равно нулю если:

первое: cos²(x) = 0 или второе: 2sin(2x) – 1 = 0;

первое: cos(x) = 0 → x = π/2 + πn; n∈Z.

Второе: 2sin(2x) = 1 → sin(2x) = 1/2 → 2x = (-1)n * arcsin(1/2) + πn; n∈Z → x = (-1)n π/12 + πn/2 ; n∈Z.

Ответ: x = π/2 + πn; n∈Z и x = (-1)n π/12 + πn/2, n∈Z.

Answer 2

.......................

Answer 3

Давайте решим каждое из ваших уравнений поочередно:

1. Решение уравнения 2sin^2(2x) - 1 = cos(2x)(1 - cos(2x)):

Сначала преобразуем выражение: 2sin^2(2x) - 1 = cos(2x)(1 - cos(2x))

Заметим, что sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x), поэтому мы можем заменить sin^2(2x) на выражение с использованием cos^2(2x):

2(1 - cos^2(2x)) - 1 = cos(2x)(1 - cos(2x))

Раскроем скобки и упростим:

2 - 2cos^2(2x) - 1 = cos(2x) - cos^2(2x)

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

2 - 2cos^2(2x) - 1 - cos(2x) + cos^2(2x) = 0

Теперь объединим подобные члены:

2 - 1 - cos(2x) - 2cos^2(2x) + cos^2(2x) = 0

1 - cos(2x) - 2cos^2(2x) + cos^2(2x) = 0

Далее, объединим квадраты cos:

1 - cos(2x) - cos^2(2x) = 0

Теперь давайте заменим cos^2(2x) на 1 - sin^2(2x):

1 - cos(2x) - (1 - sin^2(2x)) = 0

1 - cos(2x) - 1 + sin^2(2x) = 0

Теперь у нас есть квадрат sin(2x):

sin^2(2x) - cos(2x) = 0

Это уравнение можно решить. Поскольку у нас есть sin^2(2x), мы можем использовать тождество sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1:

1 - cos(2x) = 0

cos(2x) = 1

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению:

2x = 0

x = 0

Таким образом, уравнение 2sin^2(2x) - 1 = cos(2x)(1 - cos(2x)) имеет одно решение x = 0.

2. Доказательство тождества sin^4(a) - cos^4(a)/(sin(a) - cos(a)) = sin(a) + cos(a):

Начнем с левой стороны тождества:

sin^4(a) - cos^4(a)/(sin(a) - cos(a))

Сначала разложим разность квадратов в числителе:

(sin^2(a) - cos^2(a))(sin^2(a) + cos^2(a))/(sin(a) - cos(a))

Используем тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

(sin^2(a) - cos^2(a))/ (sin(a) - cos(a))

Теперь мы можем разложить разность квадратов в числителе:

(sin(a) + cos(a))(sin(a) - cos(a))/(sin(a) - cos(a))

Теперь можно сократить (sin(a) - cos(a)) в числителе и знаменателе:

sin(a) + cos(a)

Таким образом, левая сторона тождества равна sin(a) + cos(a), что и требовалось доказать.

3. Упрощение выражения cos(a) - sin(-a)/(cos(-a) + tan(-a)):

Для упрощения этого выражения, воспользуемся тригонометрическими идентичностями:

sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) tan(-a) = -tan(a)

Подставляем эти значения в исходное выражение:

cos(a) + sin(a)/(cos(a) - (-tan(a)))

cos(a) + sin(a)/(cos(a) + tan(a))

Теперь можно объединить дроби с общим знаменателем:

(cos(a) * (cos(a) + tan(a)) + sin(a))/(cos(a) + tan(a))

Раскрываем скобки:

(cos^2(a) + cos(a) * tan(a) + sin(a))/(cos(a) + tan(a))

Теперь воспользуемся тождеством tan(a) = sin(a)/cos(a):

(cos^2(a) + sin(a) + sin(a))/(cos(a) + sin(a)/cos(a))

Упростим дробь в числителе:

cos^2(a) + 2sin(a)

Теперь, объединим члены:

cos^2(a) + 2sin(a) = cos^2(a) + sin(a) + sin(a) = (cos^2(a) + sin(a)) + sin(a)

Заметим, что cos^2(a) + sin(a) = 1 (тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1):

1 + sin(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 1 + sin(a).